کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری

کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری (مبانی نظری، تحلیل عددی و مدل‌سازی) نوشته جواد دمیرچی و علی جانمحمدی، مفهوم مشتق و انتگرال را فراتر از مرتبه‌های صحیح بررسی می‌کند. موضوع اصلی، پیوند میان تعریف‌های ریاضی، تقریب‌های عددی و مدل‌سازی پدیده‌هایی است که رفتارشان به گذشته وابسته است. نویسندگان از توابع خاص و عملگرهای کسری آغاز کرده‌اند و مباحث را تا مسائل معکوس و مدل‌های بیماری‌های واگیردار ادامه داده‌اند. انتشارات دانشگاه سمنان این کتاب را منتشر کرده است. حضور نمونه‌های محاسباتی در متلب نیز ارتباط فرمول‌ها با محاسبات عددی را نشان می‌دهد. نسخه‌ی الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری

کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری نوشته جواد دمیرچی و علی جانمحمدی، دو بخش اصلی و هشت فصل دارد. بخش نخست، پنج فصل را به مبانی و ابزارهای محاسباتی اختصاص داده است. فصل «توابع خاص در حسابان مرتبه کسری» توابع گاما، بتا، دیگاما، میتاگ‌لفلر و رایت را معرفی می‌کند. نویسندگان تعریف‌ها را همراه با خواص، روابط تحلیلی، برهان‌ها و نمونه‌های پیاده‌سازی در متلب آورده‌اند. فصل دوم، تعریف‌های مختلف مشتق و انتگرال کسری را بررسی کرده است؛ از جمله گرونوالد‌لتنیکوف، ریمان‌لیوویل و کاپوتو. تفاوت این تعریف‌ها صرفاً تفاوت در نمادگذاری نیست؛ شرایط استفاده و ویژگی‌های هر عملگر در صورت‌بندی مسئله اهمیت دارد. برای نمونه، متن امکان بیان شرایط اولیه به‌شکل کلاسیک را یکی از دلایل کاربرد مشتق کاپوتو در مسائل مقدار اولیه معرفی می‌کند. فصل‌های بعدی به معادلات معمولی و جزئی، مسائل مستقیم و معکوس، تفاضلات متناهی و ماتریس‌های عملیاتی اختصاص دارند. مباحث همگرایی، سازگاری و پایداری نیز نشان می‌دهند که محاسبه‌ی یک جواب تقریبی، بدون بررسی رفتار روش عددی کافی نیست.
کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری در بخش دوم، سه نمونه‌ی مفصل از تحلیل عددی و مدل‌سازی را دنبال می‌کند. فصل «حل مسئله معکوس نفوذ کسری زمانی با روش ریتز-گالرکین» از موجک‌های برنولی بهره می‌گیرد و موضوع وجود و یکتایی جواب را نیز مطرح می‌کند. فصل مربوط به معادلات برگرز، موجک‌های چبیشف، تقریب تابع و گسسته‌سازی مکانی و زمانی را در کنار شبیه‌سازی‌های عددی قرار داده است. فصل پایانی، مدل‌سازی بیماری‌های واگیردار و تخمین پارامترهای همه‌گیری‌شناسی را بررسی می‌کند. مدل‌های کلاسیک، مدل کسری کووید-۱۹، نقاط تعادل، پایداری و تحلیل حساسیت از مباحث این فصل هستند. الگوریتم پیشگو-اصلاحگر و منظم‌سازی تیخونف تعمیم‌یافته نیز در همین زمینه معرفی شده‌اند. نمودارها و جدول‌های مقایسه‌ی جواب‌های دقیق و عددی، خطاها و سطوح مختلف نویز، بخشی از شیوه‌ی بررسی مسائل را تشکیل می‌دهند. نویسندگان بسیاری از مطالب این بخش را برگرفته از پژوهش‌های مستقل خود معرفی کرده‌اند. محتوای تخصصی و حضور برهان‌ها و تحلیل‌های محاسباتی، مطالعه‌ی این کتاب را به زمینه‌ای در ریاضیات دانشگاهی وابسته می‌کند.

خلاصه کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری

کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری بر این ایده استوار است که مشتق و انتگرال می‌توانند مرتبه‌ای غیرصحیح داشته باشند. این تعمیم، امکان صورت‌بندی سامانه‌هایی را فراهم می‌کند که حافظه و وابستگی به رفتار گذشته در توصیفشان اهمیت دارد. متن ابتدا ابزارهای لازم، از توابع خاص تا تعریف‌های گوناگون عملگرهای کسری را توضیح می‌دهد. سپس مسئله‌ی حل و تقریب معادلات را پیش می‌کشد: جواب تحت چه شرایطی وجود دارد، مسئله چه زمانی خوش‌وضع است و روش عددی چگونه ارزیابی می‌شود؟ مباحث تفاضلات متناهی و ماتریس‌های عملیاتی، مسیر ورود به نمونه‌های تخصصی‌تر را فراهم می‌کنند. مسئله‌ی معکوس نفوذ، دستگاه معادلات برگرز و تخمین پارامترهای یک مدل همه‌گیری، سه زمینه‌ی اصلی برای دنبال‌کردن این پیوند هستند. دغدغه‌ی مشترک این مباحث، ارتباط میان تعریف ریاضی، انتخاب روش محاسباتی و تفسیر نتایج مدل است.

چرا باید کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری را بخوانیم؟

دلایل خواندن کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری را می‌توان این‌طور خلاصه کرد:

• مقایسه‌ی تعریف‌های مشتق کسری، شناخت تفاوت عملگرها و شرایط استفاده از آن‌ها را ممکن می‌کند.
• نمونه‌های متلب، ارتباط توابع خاص با محاسبات عددی را نشان می‌دهند.
• بررسی همگرایی و پایداری، معیارهایی برای ارزیابی تقریب‌ها ارائه می‌دهد.
• مطالعه‌ی مسائل معکوس و مدل‌های همه‌گیری، کاربرد مباحث نظری در تخمین مجهول‌ها را روشن می‌کند.

خواندن این کتاب را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

کتاب معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری به این گروه‌ها پیشنهاد می‌شود:

• دانشجویان تحصیلات تکمیلی ریاضی کاربردی که حسابان کسری را مطالعه می‌کنند.
• پژوهشگران فیزیک محاسباتی و مهندسی که با سامانه‌های حافظه‌دار سروکار دارند.
• پژوهشگران علوم زیستی و همه‌گیری‌شناسی که به مدل‌سازی کسری و تخمین پارامترها علاقه‌مندند.