کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی

معرفی کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی

کتاب الکترونیکی «معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی» (ویراست ۳) اثری از «پل دوشاتو» و «دیوید دبلیو زاخمن» است که با ترجمهٔ اسماعیل بابلیان، سلمان جهانشاهی و مصطفی جانی توسط انتشارات تایماز منتشر شده است. این کتاب به بررسی مباحث پایه و پیشرفتهٔ معادلات دیفرانسیل جزئی می‌پردازد و برای دانشجویان و علاقه‌مندان به ریاضیات کاربردی و مهندسی مناسب است. نسخه الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی

این کتاب یکی از منابع جامع و آموزشی در زمینهٔ معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی به شمار می‌آید و با هدف ارائهٔ متنی مقدماتی و در عین حال کامل برای دانشجویان و پژوهشگران تدوین شده است. نویسندگان تلاش کرده‌اند تا مفاهیم را از سطح مقدماتی تا پیشرفته پوشش دهند و به نیازهای دانشجویان رشته‌های مختلف فنی و مهندسی پاسخ دهند. ساختار کتاب به گونه‌ای است که هم برای تدریس دانشگاهی و هم برای مطالعهٔ خودآموز مناسب باشد. در بخش‌های مختلف کتاب، علاوه بر ارائهٔ نظریه‌ها و مفاهیم اصلی، مثال‌ها و تمرین‌های متعددی برای درک بهتر مطالب گنجانده شده است. همچنین، روش‌های عددی و تقریبی حل معادلات دیفرانسیل جزئی، که در علوم مهندسی و فیزیک کاربرد فراوان دارند، به طور مفصل بررسی شده‌اند. این کتاب در دوره‌ای نوشته شده که اهمیت معادلات دیفرانسیل جزئی در مدل‌سازی پدیده‌های فیزیکی و مهندسی بیش از پیش مورد توجه قرار گرفته است و به همین دلیل، رویکردی کاربردی و تحلیلی را در کنار مباحث نظری دنبال می‌کند.

خلاصه کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی

این کتاب با معرفی مفاهیم پایه‌ای معادلات دیفرانسیل جزئی آغاز می‌شود و به تدریج به مباحث پیشرفته‌تر می‌پردازد. ابتدا تعاریف، علائم و اصطلاحات رایج در این حوزه مطرح می‌شوند و سپس دسته‌بندی معادلات دیفرانسیل جزئی بر اساس نوع (بیضوی، سهموی، هذلولوی و فراهذلولوی) و ویژگی‌های ریاضی آن‌ها بررسی می‌شود. در ادامه، رفتار کیفی جواب‌های معادلات بیضوی، اصول ماکسیمم-مینیمم و مسائل مقدار مرزی مورد بحث قرار می‌گیرند. بخش‌های بعدی کتاب به روش‌های حل معادلات دیفرانسیل جزئی اختصاص یافته است؛ از جمله بسط توابع ویژه، تبدیلات انتگرال، استفاده از توابع گرین و روش‌های عددی مانند روش تفاضل متناهی و روش عنصر متناهی. همچنین، روش‌های تقریبی مبتنی بر اصول تغییرات و کاربرد آن‌ها در حل مسائل مقدار مرزی به تفصیل شرح داده شده‌اند. در هر فصل، مثال‌ها و تمرین‌هایی برای تثبیت مفاهیم ارائه شده است تا خواننده بتواند به صورت عملی با حل مسائل آشنا شود. در مجموع، کتاب تلاش می‌کند تا هم جنبه‌های نظری و هم کاربردی معادلات دیفرانسیل جزئی را پوشش دهد و مخاطب را با ابزارهای مختلف حل این معادلات آشنا کند.

چرا باید کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی را خواند؟

مطالعهٔ این کتاب فرصتی برای آشنایی عمیق با مبانی و روش‌های حل معادلات دیفرانسیل جزئی فراهم می‌کند. این اثر با پوشش گستردهٔ موضوعات، از مفاهیم پایه تا روش‌های عددی و تقریبی، به دانشجویان و پژوهشگران امکان می‌دهد تا درک جامعی از کاربردهای این معادلات در علوم مهندسی و فیزیک به دست آورند. وجود مثال‌ها و تمرین‌های متعدد، یادگیری مفاهیم را تسهیل می‌کند و امکان تمرین عملی را فراهم می‌سازد.

خواندن کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

این کتاب برای دانشجویان رشته‌های ریاضی، فیزیک، مهندسی و علوم پایه که با معادلات دیفرانسیل جزئی سروکار دارند مناسب است. همچنین، برای پژوهشگران و مهندسانی که به دنبال درک بهتر مدل‌سازی ریاضی پدیده‌های فیزیکی هستند، منبعی مفید به شمار می‌آید.

فهرست کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی

- مقدمه: معرفی علائم و اصطلاحات، مروری بر اهمیت معادلات دیفرانسیل جزئی و کاربردهای آن‌ها در علوم مختلف.- دسته‌بندی و مشخصه‌ها: بررسی انواع معادلات مرتبه دوم، تحلیل ابعادی و رده‌بندی معادلات بر اساس ویژگی‌های جبری.- رفتار کیفی جواب‌های معادلات بیضوی: معرفی توابع هارمونیک، اصول ماکسیمم-مینیمم و مسائل مقدار مرزی بیضوی.- مسائل مقدار اولیه و مقدار اولیه-مرزی: بررسی معادلات سهموی و هذلولوی و رفتار جواب‌های آن‌ها.- معادلات مرتبه اول: مقدمه‌ای بر معادلات مرتبه اول، دست‌بندی و شکل نرمال دستگاه‌های هذلولوی.- بسط توابع ویژه و تبدیلات انتگرال: معرفی سری فوریه، سری فوریه تعمیم‌یافته، مسائل اشتورم-لیوویل و تبدیلات انتگرال فوریه و لاپلاس.- کاربرد بسط توابع ویژه و تبدیلات انتگرال: اصل انطباق، تفکیک متغیرها و کاربرد تبدیلات انتگرال در حل معادلات.- توابع گرین: شرح توابع گرین، معادله لاپلاس، مسائل مقدار مرزی بیضوی و معادلات انتشار و موج.- روش‌های تفاضلی: روش‌های عددی برای حل معادلات سهموی، هذلولوی و بیضوی.- فرمول‌بندی وردشی مسائل مقدار مرزی: فضای تابعی، حساب تغییرات و اصول تغییرات برای مقادیر ویژه.- روش‌های تقریب وردشی: معرفی روش ریلی-ریتز و روش گلرکین.- مقدمه‌ای بر روش اجزاء متناهی: فضاهای اجزاء متناهی در یک بعد و صفحه و معرفی روش اجزاء متناهی.

بخشی از کتاب معادلات دیفرانسیل جزئی

«یک معادله دیفرانسیل جزئی (به اختصار PDE) معادله‌ای شامل یک یا چند مشتق جزئی از یک تابع مجهول چندمتغیره است. معادله دیفرانسیل جزئی خطی گوییم هرگاه تابع u بر حسب هر یک از متغیرهای مستقل و مشتقاتش فقط توابعی از متغیرهای مستقل باشند. معادله‌ای که خطی نباشد را غیرخطی می‌گوییم و یک معادله غیرخطی را شبه‌خطی گوییم اگر بر حسب مشتقات با بالاترین مرتبه، خطی باشد. بخشی از نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل جزئی خطی در مورد معادلات شبه‌خطی نیز برقرار است.معمولاً متغیرهای فضایی در یک ناحیه محدود به ناحیه‌ای باز چون Ω با مرز ∂Ω هستند. اجتماع Ω و ∂Ω را بستار Ω می‌نامیم و با Ω̄ نشان می‌دهیم. در صورت وجود متغیر زمانی، این متغیر در بازه‌ای مثل ۰ < t < T تغییر می‌کند. تابع u(x, t) جوابی از PDE مرتبه kام است اگر برای هر (x, t) و ۰ < t < T مشتقات جزئی تا مرتبه k وجود داشته باشد و در PDE صدق کند.در مسائل ریاضی فیزیک، ناحیه Ω اغلب زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی n بعدی است. در این حالت، یک نقطه نوعی در Ω را با (x₁, x₂, ..., xₙ) نشان می‌دهیم و انتگرال روی Ω را به صورت زیر بیان می‌کنیم:∫_Ω f(x) dxعبارت Δu = div(grad u) لاپلاسین u نامیده می‌شود.»