کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب

کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب نوشته‌ی کانتی بوشان داتا و با ترجمه‌ی فائزه توتونیان، منصوره صائمی بجستانی و داود خجسته سالکویه منتشر شده است. نشر دانشگاه فردوسی مشهد آن را منتشر کرده است. این کتاب در یک جلد حجیم، مباحث کلاسیک ماتریس‌ها و جبر خطی را همراه با جنبه‌های عددی و محاسباتی آن‌ها در محیط متلب کنار هم قرار داده است. نویسنده از دل تجربه‌ی طولانی تدریس و خودآموزی، متنی فراهم کرده است که هم ساختار نظری جبر خطی را دنبال می‌کند و هم به جنبه‌های محاسباتی و کاربردی آن در علوم و مهندسی توجه نشان می‌دهد. فصل‌های آغازین با مفاهیم پایه‌ای مثل تعریف ماتریس، اعمال روی ماتریس‌ها، دترمینان، معکوس و رتبه شروع می‌شوند و به‌تدریج به فضاهای برداری، تبدیل‌های خطی، مقادیر و بردارهای ویژه، صورت‌های نرمال، تابع ماتریسی و در نهایت جبر خطی عددی می‌رسند. در پایان هر فصل، مثال‌های حل‌شده، معرفی توابع متلب مرتبط و مجموعه‌ی بزرگی از تمرین‌ها همراه با پاسخ، متن را به یک منبع مناسب برای یادگیری گام‌به‌گام و خودآموز تبدیل کرده است. نسخه‌ی الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب

کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب با تمرکز بر پیوند میان جبر ماتریسی، جبر خطی و محاسبات عددی نوشته شده است. کانتی بوشان داتا در پیشگفتار نسخه‌ی اول توضیح داده است که این متن حاصل یک فرایند خودآموزی طولانی است که در آن خود او هم‌زمان نقش معلم و شاگرد را داشته است. او ابتدا از نیاز به ترکیب دو رویکرد «جبر ماتریسی» و «جبر خطی» سخن گفته است؛ از این‌که آموزش صرفاً ماتریس‌ها بدون ورود به ساختارهای عمیق‌تر جبر خطی محدودکننده است و در مقابل، تمرکز صرف بر جبر خطی انتزاعی، دانشجو را از جنبه‌ی محاسباتی و کاربردی دور می‌کند. به همین دلیل، در فصل‌های آغازین کتاب، مفاهیم پایه‌ای مانند ماتریس‌ها، اعمال ماتریسی، دترمینان‌ها، معکوس، رتبه، هم‌ارزی و فضاهای برداری به‌صورت تدریجی و همراه با مثال‌های عددی معرفی شده‌اند. سپس با استفاده از این بنیان، تبدیل خطی و نمایش ماتریسی آن وارد بحث می‌شود تا ارتباط ساختاری میان ماتریس‌ها و تبدیل‌های خطی روشن شود. در ادامه، مفاهیمی مانند مقادیر و بردارهای ویژه، معادله‌ی مشخصه، صورت‌های دوخطی، درجه‌ی دو و هرمیتی، نرم‌های برداری و ماتریسی، صورت‌های نرمال (از جمله صورت نرمال جردن) و تابع یک ماتریس به‌تفصیل بررسی شده‌اند. کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب در نسخه‌ی بازنگری‌شده‌ی خود، فصل‌های متعددی را در ۱۳ فصل اصلی سامان داده است. فصل ۱ با عنوان «جبر ماتریسی» به تعریف ماتریس، اعمال روی ماتریس‌ها، ترانهاد، ماتریس‌های متقارن، هرمیتی و مثلثی، توان‌های ماتریس، اثر (ردیف) و حتی مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری ماتریسی می‌پردازد و در پایان، نمونه‌هایی از کار با متلب برای ساخت ماتریس‌ها و انجام محاسبات ساده ارائه شده است. فصل‌های بعدی به موضوعاتی مانند زیرماتریس و رتبه، تبدیل‌های مقدماتی، معکوس، دترمینان و خواص آن، فضاهای برداری و زیرفضاها، فضاهای ضرب داخلی و فرایند گرام–اشمیت، دستگاه معادلات خطی و روش‌های حل (از جمله گاوس و روش‌های مبتنی بر متلب)، تبدیل‌های خطی و ماتریس آن‌ها، مقادیر و بردارهای ویژه و چندجمله‌ای‌های ماتریسی اختصاص یافته‌اند. در فصل‌های میانی، صورت‌های دوخطی، مربعی و هرمیتی، صورت‌های نرمال، معکوس تعمیم‌یافته، دنباله‌ها و سری‌های ماتریسی و در فصل ۱۲ تابع یک ماتریس، تجزیه‌ی طیفی، ریشه‌ی دوم ماتریس و حل معادلات دیفرانسیل و تفاضلی برداری–ماتریسی مطرح شده است. فصل ۱۳ به‌طور ویژه به «جبر خطی عددی» می‌پردازد؛ مفاهیمی مانند شرطی‌سازی، پایداری عددی، حل عددی دستگاه‌های خطی، محاسبه‌ی عددی مقادیر و بردارهای ویژه و الگوریتم‌های مختلف (از جمله روش توانی، روش‌های ژاکوبی و گیونز، تجزیه‌ی LU و الگوریتم‌های مبتنی بر QR) در این فصل آمده است. در سراسر کتاب، در پایان هر فصل، بخش «پشتیبانی‌های متلب» و مجموعه‌ی گسترده‌ای از مسائل همراه با پاسخ، ساختار آموزشی متن را کامل کرده است.

خلاصه کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب

کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب از یک ایده‌ی مرکزی حرکت کرده است: ترکیب نگاه ساختاری جبر خطی با نگاه محاسباتی جبر ماتریسی و عددی، به‌گونه‌ای که هم بنیان نظری استوار شود و هم ابزار محاسبه و پیاده‌سازی در دسترس قرار گیرد. نویسنده ابتدا تاریخچه‌ی کوتاهی از دترمینان‌ها و ماتریس‌ها ارائه کرده است تا نشان دهد چگونه از حل دستگاه‌های خطی و حذف متغیرها، مفهوم دترمینان و سپس ماتریس شکل گرفته است. سپس با تعریف رسمی ماتریس، برابری، جمع، ضرب اسکالر، تفریق، ضرب ماتریسی، ترانهاد، ماتریس‌های متقارن، متقارن اریب، هرمیتی، هرمیتی اریب، قطری، اسکالر، همانی و مثلثی، زبان مشترک کل کتاب را می‌سازد. در همین فصل اول، مفاهیمی مانند توان ماتریس، اثر (ردیف)، مشتق و انتگرال ماتریسی و ماتریس روی یک میدان دلخواه نیز معرفی شده‌اند تا نشان داده شود که بسیاری از عملیات آشنا روی اسکالرها، به‌صورت مؤلفه‌به‌مؤلفه به ماتریس‌ها تعمیم می‌یابند. در فصل‌های بعدی، ساختار جبری و خطی به‌تدریج گسترش پیدا می‌کند. ابتدا زیرماتریس، رتبه، تبدیل‌های مقدماتی، هم‌ارزی سطری و ستونی، شکل‌های نرمال سطری و ستونی و معکوس ماتریس با روش‌های مختلف (از جمله کاهش گام‌به‌گام و استفاده از ماتریس‌های مقدماتی) بررسی شده است. سپس دترمینان‌ها، جایگشت‌ها، هم‌عامل‌ها، کهادها و خواص اساسی دترمینان‌ها مطرح شده‌اند و ارتباط آن‌ها با معکوس و منفردبودن ماتریس توضیح داده شده است. در ادامه، فضاهای برداری، وابستگی و استقلال خطی، پایه و بعد، زیرفضاها، جمع مستقیم، فضاهای ضرب داخلی، پایه‌ی متعامد و فرایند گرام–اشمیت، دستگاه‌های خطی، قاعده‌ی کرامر، رتبه و پوچی و روش‌های حل دستگاه‌ها (از جمله روش حذفی گاوس و روش‌های مبتنی بر شکل استاندارد هم‌ارز سطری) آمده است. بخش مهمی از کتاب به تبدیل‌های خطی، ماتریس نمایش آن‌ها، تغییر پایه، تبدیل‌های متعامد و یکانی، فضاهای دوگان و دو–دوگان و الحاقی یک تبدیل خطی اختصاص یافته است. در سطح پیشرفته‌تر، کتاب به مقادیر و بردارهای ویژه، معادله‌ی مشخصه، چندجمله‌ای مشخصه، چندجمله‌ای پوچ‌ساز و مینیمال، قضیه‌ی کیلی–همیلتون، چندجمله‌ای‌های ماتریسی، لامبدا ماتریس‌ها، صورت‌های جردن، صورت‌های نرمال مختلف، صورت‌های دوخطی، مربعی و هرمیتی، قانون اینرسی سیلوستر، ماتریس‌های معین مثبت و مسئله‌ی مقدار ویژه‌ی تعمیم‌یافته می‌پردازد. سپس نرم‌های برداری و ماتریسی، نرم‌های سازگار، نرم‌های القایی، شاخص منفردبودن، دنباله‌ها و سری‌های ماتریسی و معکوس تعمیم‌یافته بررسی شده‌اند. در فصل تابع ماتریسی، تعریف تابع یک ماتریس، تجزیه‌ی طیفی، محاسبه‌ی تابع ماتریسی با استفاده از ماتریس واندرموند، ریشه‌ی دوم ماتریس، نمایش انتگرالی و ارتباط آن با حل معادلات دیفرانسیل و تفاضلی برداری–ماتریسی مطرح شده است. در نهایت، فصل جبر خطی عددی به خطای عددی، شرطی‌سازی، پایداری، حل عددی دستگاه‌های خطی، محاسبه‌ی عددی مقادیر و بردارهای ویژه و الگوریتم‌های مختلف تجزیه و تکرار اختصاص یافته است. در پایان هر فصل، بخش «پشتیبانی‌های متلب» و مجموعه‌ی مسائل همراه با پاسخ، پیوند میان نظریه و محاسبه‌ی کامپیوتری را پررنگ کرده است.

چرا باید کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب را بخوانیم؟

کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب چند ویژگی برجسته دارد که آن را برای مطالعه‌ی جدی جبر خطی و ماتریس‌ها متمایز کرده است. نخست این‌که نویسنده به‌جای جداکردن کامل جبر ماتریسی و جبر خطی، این دو را در کنار هم پیش برده است؛ یعنی هم‌زمان با معرفی مفاهیم ساختاری مانند فضاهای برداری، تبدیل‌های خطی، مقادیر و بردارهای ویژه و صورت‌های نرمال، همواره به نمایش ماتریسی این مفاهیم و نقش آن‌ها در حل مسائل عددی پرداخته است. این رویکرد باعث می‌شود خواننده درک کند که چرا بسیاری از مفاهیم انتزاعی جبر خطی، در عمل به محاسبات ماتریسی و الگوریتم‌های عددی تبدیل می‌شوند. ویژگی دوم، حضور پررنگ متلب در سراسر کتاب است. در پایان هر فصل، توابع متلب مرتبط با مباحث آن فصل معرفی شده‌اند و با مثال‌های عددی آزمایش شده‌اند. این کار کمک می‌کند تا مفاهیم نظری بلافاصله در محیط محاسباتی پیاده‌سازی شوند و خواننده ببیند که چگونه می‌توان دستگاه‌های خطی، مسائل مقدار ویژه، صورت‌های نرمال، تابع ماتریسی و حتی معادلات دیفرانسیل و تفاضلی برداری–ماتریسی را در متلب مدل‌سازی و حل کرد. سومین نکته، حجم بالای مثال‌های حل‌شده و تمرین‌های پایان فصل است؛ تمرین‌هایی که پاسخ آن‌ها نیز فراهم شده است و امکان خودآموزی و سنجش فهم را فراهم می‌کند. علاوه‌براین، ساختار کتاب به‌گونه‌ای طراحی شده است که هم برای یک دوره‌ی مقدماتی (با انتخاب فصل‌ها و بخش‌های مشخص) و هم برای یک دوره‌ی پیشرفته در سطح کارشناسی ارشد و دکتری قابل استفاده باشد. ترکیب تاریخچه‌ی مختصر، تعریف‌های دقیق، اثبات‌ها، مثال‌های عددی، پیوند با متلب و فصل پایانی جبر خطی عددی، این متن را به گزینه‌ای مناسب برای کسانی تبدیل کرده است که به‌دنبال درک عمیق مفاهیم و هم‌زمان توانایی پیاده‌سازی محاسبات در محیط نرم‌افزاری هستند.

خواندن این کتاب را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

مطالعه‌ی کتاب ماتریس و جبر خطی به کمک متلب به دانشجویان رشته‌ی ریاضی در درس‌های جبر خطی، جبر خطی عددی و مبانی ماتریس‌ها پیشنهاد می‌شود. همچنین به دانشجویان کارشناسی و تحصیلات تکمیلی در رشته‌های مهندسی، فیزیک، اقتصاد، آمار و علوم داده که با دستگاه‌های خطی، مسائل مقدار ویژه، بهینه‌سازی و مدل‌سازی عددی سروکار دارند توصیه می‌شود. کسانی که در حوزه‌هایی مانند یادگیری ماشین، پردازش سیگنال، برنامه‌ریزی خطی و تحلیل داده کار می‌کنند و به‌دنبال درک دقیق‌تر ساختارهای خطی و پیاده‌سازی آن‌ها در متلب هستند نیز می‌توانند از این کتاب بهره ببرند.