کتاب ریاضیات گسسته

کتاب ریاضیات گسسته نوشته‌ی هادی صادقی خوانساری مجموعه‌ای فشرده از مباحث اصلی این درس به‌همراه خلاصه‌ی درس، نکته، تمرین و تست‌های چهارگزینه‌ای است که موسسه فرهنگی هنری دیباگران تهران آن را منتشر کرده است. ساختار این کتاب بر پایه‌ی فصل‌های آموزشی کوتاه و هدفمند شکل گرفته که در هر فصل ابتدا مفاهیم پایه و تعاریف اصلی ارائه شده‌اند، سپس مثال‌های حل‌شده، نکته‌های کلیدی و در پایان مجموعه‌ای از تست‌ها و پاسخ‌نامه‌ی تشریحی یا کلیدی آمده است. تمرکز نویسنده بر پوشش مباحث متداول ریاضیات گسسته در دوره‌ی دانشگاهی است؛ از مجموعه‌ها، اصول شمارش و منطق گزاره‌ای گرفته تا استقرای ریاضی، رابطه‌ها، مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، رابطه‌های بازگشتی و در نهایت گراف‌ها و درخت‌ها. در کنار توضیح مفاهیم، تلاش شده است با مثال‌های عددی، جدول‌های درستی، روابط نمادین و فرمول‌های خلاصه‌ی فصل، مسیر یادگیری مرحله‌به‌مرحله پیش برود و خواننده بتواند پس از هر بخش، درک خود را با حل تمرین‌ها و تست‌ها محک بزند. نسخه‌ی الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب ریاضیات گسسته

کتاب ریاضیات گسسته با تمرکز بر نیازهای آموزشی دانشجویان و داوطلبان آزمون‌ها نوشته شده و در فصل‌های متوالی، مباحث اصلی این حوزه را پوشش داده است. در فصل اول با عنوان شمارش و منطق، ابتدا مفهوم مجموعه، نحوه‌ی نمایش آن، مثال‌هایی از مجموعه‌ی اعداد، ایام هفته و زیرمجموعه‌ها مطرح شده و سپس اصول شمارش، مفهوم شمارش‌پذیری، نماد تعداد اعضای مجموعه و نکته‌هایی درباره‌ی تکرار عناصر در مجموعه‌ها توضیح داده شده است. در ادامه‌ی همین فصل، شمول و عدم‌شمول، زیرمجموعه، مجموعه‌ی تهی، برابری دو مجموعه و توابع مولد معرفی شده‌اند و مثال‌هایی از نوشتن ضابطه برای تولید عناصر یک مجموعه آمده است. بخش بعدی فصل به منطق گزاره‌ای اختصاص دارد؛ تعریف گزاره، ارزش درست و نادرست، گزاره‌ی ساده، ترکیب عطفی و فصلی، جدول‌های درستی، خاصیت جابه‌جایی و شرکت‌پذیری، نقیض، قوانین دمورگان و سورهای عمومی و وجودی از جمله مباحثی هستند که با مثال‌های متعدد و تست‌های پایانی فصل در کتاب ریاضیات گسسته مرور شده‌اند. در فصل دوم، استقرای ریاضی و استدلال استقرایی محور اصلی هستند. ابتدا اصل استقرای ریاضی روی مجموعه‌ی اعداد صحیح تعریف شده، سپس مراحل اثبات یک حکم برای همه‌ی اعداد طبیعی (بررسی پایه، فرض استقرا و گام استقرا) با مثال‌هایی مانند جمع اعداد ۱ تا n، جمع اعداد زوج متوالی و جمع دنباله‌های خاص نشان داده شده است. در ادامه، استدلال استقرایی به‌عنوان روشی برای تعمیم نتایج از حالت‌های محدود به حالت کلی توضیح داده شده است. فصل سوم به رابطه‌ها می‌پردازد: تعریف رابطه روی یک یا چند مجموعه، دامنه و برد رابطه، رابطه‌ی حاصل‌ضرب (ضرب دکارتی)، رابطه‌ی تساوی، رابطه‌ی تهی، رابطه‌ی عمومی و رابطه‌ی معکوس. سپس خواص مهم رابطه‌ها یعنی بازتابی، متقارن، پادمتقارن و تعدی معرفی شده و بر پایه‌ی آن‌ها، رابطه‌های ترتیب جزئی و رابطه‌های هم‌ارزی توضیح داده شده‌اند. در همین فصل، مفهوم مجموعه‌های نامتناهی، کاردینالیتی، مجموعه‌های شمارا و شمارش‌ناپذیر و نکته‌هایی درباره‌ی زیرمجموعه‌های شمارش‌پذیر و ضرب دکارتی مجموعه‌های نامتناهی نیز در کتاب ریاضیات گسسته مطرح شده است. فصل چهارم به رابطه‌های بازگشتی، مثال‌هایی مانند دنباله‌ی فیبوناچی، فاکتوریل و برج هانوی، و سپس معادلات بازگشتی همگن و غیرهمگن و روش حل آن‌ها ازطریق معادله‌ی مشخصه اختصاص دارد. در فصل پنجم نیز گراف‌ها، ماتریس مجاورت، گراف‌های مسطح و فرمول اویلر، دورهای اویلری و همیلتونی، رنگ‌آمیزی گراف، عدد رنگی، درخت‌ها، درخت دودویی، ريشه، برگ، سطح و ارتفاع درخت بررسی شده‌اند و هر فصل با خلاصه‌ی نکته‌ها و تست‌های چهارگزینه‌ای پایان می‌یابد.

خلاصه کتاب ریاضیات گسسته

در ریاضیات گسسته، نویسنده از پایه‌ترین مفهوم یعنی مجموعه آغاز کرده است. ابتدا تعریف مجموعه به‌عنوان لیستی از مقادیر مرتبط، نحوه‌ی نمایش آن با آکولاد، مثال‌هایی از مجموعه‌ی ایام هفته، اعداد فرد بین ۱ تا ۲۰ و مضرب‌های ۲، و سپس مفهوم تعداد عناصر مجموعه و نمادهایی مانند n(A) یا #A برای نشان‌دادن کاردینالیتی مجموعه توضیح داده شده است. نکته‌ی مهم درباره‌ی عدم‌تکرار عناصر در مجموعه و تفاوت آن با لیست‌ها نیز در همین بخش آمده است. بعد از آن اصول شمارش مطرح شده‌اند؛ از شمارش‌پذیری مجموعه‌های متناهی تا محاسبه‌ی تعداد عناصر اجتماع دو مجموعه، حالت مستقل‌بودن دو مجموعه، مجموعه‌ی تهی به‌عنوان اشتراک دو مجموعه‌ی مستقل و استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق برای محاسبه‌ی تعداد عناصر اجتماع. شمول و عدم‌شمول، زیرمجموعه‌بودن، برابری دو مجموعه و مثال‌هایی از مجموعه‌های شامل اعداد فرد سه‌رقمی یا اعدادی با باقیمانده‌ی مشخص در تقسیم بر ۲، زمینه را برای ورود به توابع مولد فراهم کرده است؛ جایی که ضابطه‌ای برای تولید عناصر یک مجموعه‌ی بزرگ به‌جای نوشتن تک‌تک عناصر ارائه می‌شود. بخش منطق گزاره‌ای کتاب ریاضیات گسسته با تعریف گزاره به‌عنوان عبارتی که فقط می‌تواند درست یا نادرست باشد شروع شده است. گزاره‌ی ساده، ترکیب عطفی (و)، ترکیب فصلی (یا)، جدول‌های درستی، شرایط درست‌بودن ترکیب‌ها، خاصیت جابه‌جایی و شرکت‌پذیری، نقیض و قوانین دمورگان به‌صورت مرحله‌ای معرفی شده‌اند. مثال‌هایی از گزاره‌های مربوط به دانشجویان، دروس دانشگاهی، اعداد اول و نامساوی‌ها کمک کرده‌اند تا ترکیب‌های منطقی و نقیض آن‌ها ملموس شوند. در ادامه، سور عمومی (برای همه) و سور وجودی (وجود دارد) و نقش آن‌ها در عبارات منطقی مطرح شده است. فصل استقرا، اصل استقرای ریاضی را به‌عنوان روشی برای اثبات گزاره‌ها درباره‌ی همه‌ی اعداد طبیعی معرفی کرده است؛ ابتدا درستی حکم برای n=1 بررسی می‌شود، سپس فرض می‌شود حکم برای n درست است و در گام بعدی نشان داده می‌شود که برای n+1 نیز برقرار است. این الگو در مثال‌هایی مانند جمع ۱ تا n، جمع اعداد زوج، جمع دنباله‌های با اختلاف ثابت و عبارات شامل توان‌ها و ضرایب به‌کار رفته است. در فصل رابطه‌ها، کتاب ریاضیات گسسته رابطه را به‌صورت مجموعه‌ای از تاپل‌ها روی یک یا چند مجموعه تعریف کرده است. دامنه و برد رابطه، رابطه‌ی کامل (که در آن هر عنصر مجموعه‌ی اول با همه‌ی عناصر مجموعه‌ی دوم در ارتباط است)، رابطه‌ی تساوی، رابطه‌ی تهی، رابطه‌ی عمومی و رابطه‌ی معکوس با مثال‌های عددی و نمادین توضیح داده شده‌اند. سپس چهار خاصیت بازتابی، متقارن، پادمتقارن و تعدی معرفی شده و بر اساس آن‌ها، رابطه‌های ترتیب جزئی (دارای بازتابی، پادمتقارن و تعدی) و رابطه‌های هم‌ارزی (دارای بازتابی، متقارن و تعدی) تعریف شده‌اند. مثال‌هایی از رابطه‌ی «تقسیم‌پذیری» روی اعداد صحیح و رابطه‌ی «شمول» روی مجموعه‌ها، نمونه‌های ترتیب جزئی هستند و مثال‌هایی از رابطه‌های هم‌ارزی روی مجموعه‌های کوچک با زوج‌مرتب‌های مشخص، نحوه‌ی بررسی این سه خاصیت را نشان داده‌اند. در همین فصل، مجموعه‌های نامتناهی، نمایش آن‌ها، کاردینالیتی آلف صفر برای مجموعه‌های شمارا مانند اعداد طبیعی، صحیح و گویا، و تفاوت مجموعه‌های شمارش‌پذیر و شمارش‌ناپذیر مطرح شده است. فصل رابطه‌های بازگشتی با تعریف دنباله‌هایی که هر جمله‌ی آن‌ها تابعی از چند جمله‌ی قبلی است آغاز می‌شود. مثال فیبوناچی با رابطه‌ی a(n)=a(n-1)+a(n-2) و مقادیر اولیه‌ی ۰ و ۱، و مثال فاکتوریل با تعریف بازگشتی n!=n·(n-1)! نشان می‌دهند که چگونه می‌توان دنباله‌های شناخته‌شده را بازگشتی نوشت. مسئله‌ی برج هانوی نیز به‌عنوان نمونه‌ای از تفکر بازگشتی مطرح شده است. سپس معادلات بازگشتی خطی همگن و غیرهمگن معرفی شده‌اند؛ در حالت همگن، تابع سمت راست صفر است و با نوشتن معادله‌ی مشخصه، یافتن ریشه‌ها و ساختن ترکیب خطی توان‌های ریشه‌ها، فرم کلی جواب به‌دست می‌آید. در حالت غیرهمگن، ابتدا بخش همگن حل می‌شود و سپس با حدس شکل جواب ویژه (براساس نوع تابع غیرهمگن) و ترکیب آن با جواب همگن، جواب کلی نوشته می‌شود. مثال‌هایی با ضرایب مشخص و شرایط اولیه، فرایند حل را گام‌به‌گام نشان داده‌اند. در فصل گراف‌ها، کتاب ریاضیات گسسته گراف را به‌صورت زوج مرتب (V,E) تعریف کرده است که در آن V مجموعه‌ی گره‌ها و E مجموعه‌ی یال‌هاست. درجه‌ی هر گره، ماتریس مجاورت گراف و نحوه‌ی ساخت آن، مفهوم حلقه (یالی که از یک گره شروع و به همان گره ختم می‌شود) و ویژگی‌های ماتریس مجاورت برای گراف‌های بدون جهت توضیح داده شده‌اند. سپس گراف‌های مسطح، نقشه، ناحیه و فرمول اویلر (V−E+F=2) برای ارتباط بین تعداد گره‌ها، یال‌ها و نواحی معرفی شده‌اند. دور اویلری (عبور از همه‌ی یال‌ها دقیقاً یک‌بار و بازگشت به رأس شروع) و دور همیلتونی (عبور از همه‌ی رئوس دقیقاً یک‌بار و بازگشت به رأس شروع) با مثال‌های تصویری بررسی شده‌اند. در بخش رنگ‌آمیزی گراف، مفهوم مجاورت گره‌ها، رنگ‌آمیزی به‌گونه‌ای که دو گره‌ی مجاور هم‌رنگ نباشند و عدد رنگی گراف (حداقل تعداد رنگ لازم) مطرح شده است. در پایان، درخت‌ها به‌عنوان گراف‌های بدون دور معرفی شده‌اند؛ ريشه، برگ، گره‌ی میانی، سطح گره، ارتفاع درخت و درخت دودویی (که هر گره حداکثر دو فرزند دارد) با شکل‌ها و مثال‌ها توضیح داده شده‌اند و هر بخش با خلاصه‌ی نکته‌ها و مجموعه‌ای از تست‌های چهارگزینه‌ای و پاسخ‌نامه جمع‌بندی شده است.

چرا باید کتاب ریاضیات گسسته را بخوانیم؟

کتاب ریاضیات گسسته مجموعه‌ای منظم از مفاهیم کلیدی این درس را در قالب فصل‌های کوتاه، مثال‌های عددی و تست‌های چهارگزینه‌ای کنار هم قرار داده است. در هر فصل، ابتدا تعریف‌ها و نمادها به‌صورت مستقیم و بدون حاشیه آمده‌اند، سپس با مثال‌های متنوع، کاربرد آن‌ها در مسائل مختلف نشان داده شده است. وجود بخش «خلاصه فصل» در انتهای هر فصل کمک می‌کند نکته‌های اصلی مانند فرمول‌های جمع اعداد، قوانین دمورگان، شرایط بازتابی و پادمتقارن‌بودن رابطه، الگوهای حل معادلات بازگشتی و ویژگی‌های گراف‌ها به‌صورت فشرده در دسترس باشند. ترکیب توضیح نظری، مثال حل‌شده، تست و پاسخ‌نامه در این کتاب باعث شده است که هم برای مرور سریع پیش از امتحان و هم برای تمرین گام‌به‌گام مناسب باشد. مباحثی مانند منطق گزاره‌ای، استقرای ریاضی، رابطه‌ها، مجموعه‌های نامتناهی، رابطه‌های بازگشتی و گراف‌ها که معمولاً درسی انتزاعی به‌نظر می‌رسند، در قالب مثال‌های مشخص و تمرین‌های طبقه‌بندی‌شده ارائه شده‌اند تا ارتباط بین تعریف‌ها و حل مسئله روشن شود. همچنین حضور تست‌های متنوع در پایان فصل‌ها، امکان سنجش میزان تسلط بر هر مبحث و شناسایی نقاط ضعف را فراهم کرده است. برای کسانی که به‌دنبال منبعی فشرده برای جمع‌بندی ریاضیات گسسته هستند، این کتاب یک بسته‌ی کامل از درس، نکته، تمرین و تست فراهم کرده است.

خواندن این کتاب را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

کتاب ریاضیات گسسته به دانشجویان رشته‌های مهندسی و علوم کامپیوتر که درس ریاضیات گسسته را می‌گذرانند پیشنهاد می‌شود. همچنین به داوطلبان آزمون‌های کارشناسی ارشد و افرادی که در مباحثی مانند منطق، رابطه‌ها، استقرا، رابطه‌های بازگشتی و گراف‌ها نیاز به مرور فشرده و تست‌محور دارند توصیه می‌شود. برای علاقه‌مندان به مبانی نظری علوم کامپیوتر و کسانی که می‌خواهند درک خود را از ساختارهای گسسته تقویت کنند نیز مناسب است.