کتاب ترکیبیات

کتاب الکترونیکی «ترکیبیات به همراه مفاهیمی از نظریهٔ گراف» (Combinatorics with Concepts from Graph Theory) نوشتهٔ وی. دی. بالاکریشنان و ترجمهٔ آتنا نصیری، توسط انتشارات تایماز منتشر شده است. این کتاب به بررسی مباحث پایه و پیشرفتهٔ ترکیبیات و همچنین مفاهیم ابتدایی نظریهٔ گراف می‌پردازد و مثال‌ها و تمرین‌های متنوعی را برای درک بهتر مطالب ارائه می‌دهد. نسخه الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب ترکیبیات

این کتاب به عنوان یک منبع آموزشی در حوزهٔ ریاضیات گسسته، به ویژه ترکیبیات و نظریهٔ گراف، شناخته می‌شود. «ترکیبیات به همراه مفاهیمی از نظریهٔ گراف» ابتدا به اصول پایه‌ای ترکیبیات مانند اصل جمع و ضرب، جایگشت‌ها و ترکیب‌ها می‌پردازد و سپس به سراغ موضوعات پیشرفته‌تری مانند توابع مولد، روابط بازگشتی و اصل لانه کبوتری می‌رود. در بخش‌هایی از کتاب، پیوندهایی میان ترکیبیات و نظریهٔ گراف برقرار شده و مفاهیم اولیهٔ گراف‌ها، رنگ‌آمیزی، شبکه‌ها و قضایای مهم در این زمینه مطرح می‌شود. این کتاب با مثال‌های متعدد و تمرین‌های حل‌شده، برای دانشجویان و علاقه‌مندان به ریاضیات گسسته و علوم کامپیوتر قابل استفاده است. دورهٔ انتشار کتاب به زمانی بازمی‌گردد که نیاز به منابع جامع و کاربردی در زمینهٔ ترکیبیات و گراف‌ها احساس می‌شد و این اثر توانسته است جایگاه مناسبی در میان منابع آموزشی پیدا کند.

خلاصه کتاب ترکیبیات

این کتاب با معرفی اصول اولیهٔ ترکیبیات آغاز می‌شود؛ مفاهیمی مانند اصل جمع و ضرب، جایگشت‌ها و ترکیب‌ها، دنباله‌ها و انتخاب‌ها، و اصل لانه کبوتری به صورت گام‌به‌گام توضیح داده شده‌اند. در ادامه، توابع مولد و روابط بازگشتی معرفی می‌شوند و کاربرد آن‌ها در حل مسائل شمارشی مورد بررسی قرار می‌گیرد. مثال‌های متنوعی از شمارش حالات، انتخاب زیرمجموعه‌ها، و محاسبهٔ تعداد توابع و جایگشت‌ها در بخش‌های مختلف کتاب دیده می‌شود. همچنین، کتاب به بررسی گروه‌های جایگشتی و شاخص‌های دوره‌ای آن‌ها می‌پردازد و پیوندهایی با نظریهٔ گروه برقرار می‌کند. در بخش پایانی، مفاهیم ابتدایی نظریهٔ گراف مطرح می‌شود؛ از جمله تعریف گراف‌ها، انواع گراف‌های ساده و چندگانه، گراف‌های دوبخشی، گراف‌های کامل و مسطح، رنگ‌آمیزی رأس‌ها و شبکه‌های تعمیم‌یافته. در این بخش، برخی قضایای مهم مانند قضیهٔ منجر و همبندی در گراف‌ها و گراف‌های جهت‌دار نیز بررسی شده‌اند. تمرین‌ها و مثال‌های حل‌شده در سراسر کتاب، به تثبیت مفاهیم و آماده‌سازی خواننده برای حل مسائل ترکیبیاتی و گرافی کمک می‌کند.

چرا باید کتاب ترکیبیات را خواند؟

این کتاب با پوشش جامع مباحث ترکیبیات و ارائهٔ مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، به درک عمیق‌تر مفاهیم شمارشی و ساختارهای گرافی کمک می‌کند. پیوند میان ترکیبیات و نظریهٔ گراف، دیدگاه تازه‌ای به حل مسائل ریاضی و کاربردهای آن در علوم کامپیوتر و مهندسی ارائه می‌دهد. مطالعهٔ این اثر، مهارت حل مسئله و توانایی تحلیل ساختارهای گسسته را تقویت می‌کند.

خواندن کتاب ترکیبیات را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

این کتاب برای دانشجویان رشته‌های ریاضی، علوم کامپیوتر و مهندسی که با مباحث ریاضیات گسسته، ترکیبیات و نظریهٔ گراف سروکار دارند مناسب است. همچنین برای داوطلبان المپیادهای ریاضی و علاقه‌مندان به حل مسائل شمارشی و ساختارهای گرافی مفید خواهد بود.

فهرست کتاب ترکیبیات

- اصول پایه: معرفی اصل جمع و ضرب، جایگشت‌ها و ترکیب‌ها، دنباله‌ها و انتخاب‌ها، و اصل لانه کبوتری. این فصل به مفاهیم ابتدایی شمارش و روش‌های مختلف انتخاب و ترتیب می‌پردازد. - توابع مولد و روابط بازگشتی: توضیح توابع مولد نمایی و عادی، افراز اعداد صحیح و حل روابط بازگشتی با استفاده از توابع مولد. این بخش ابزارهای پیشرفته‌تری برای حل مسائل ترکیبیاتی ارائه می‌دهد. - نظریهٔ گروه در ترکیبیات: بررسی گروه‌های جایگشتی، شاخص‌های دوره‌ای و کاربرد نظریهٔ گروه در شمارش حالات مختلف. - پیوست نظریهٔ گراف: معرفی گراف‌ها، انواع گراف‌های ساده و چندگانه، گراف‌های دوبخشی، گراف‌های کامل و مسطح، رنگ‌آمیزی رأس‌ها، شبکه‌های تعمیم‌یافته و قضایای مهم در گراف‌ها و گراف‌های جهت‌دار. این فصل به پیوند میان ترکیبیات و نظریهٔ گراف می‌پردازد و کاربردهای آن را نشان می‌دهد.

بخشی از کتاب ترکیبیات

«قانون جمع پا فصلی اگر یک پیشامد به ۷۷ طریق و پیشامد دیگری بتواند به ۷ طریق انجام بپذیرد. و اگر این دو پیشامد نتوانند به صورت همزمان رخ دهند. آن‌گاه یکی از آن دو می‌توانند به ۷ + ۷۰ طریق انجام پذیرد. در حالت کلی, اگر (#, ۲,۰۰۰ ,۱ < )زنل ۷ پیشامد باشند به صورتی که هیچ دو پیشامدی نتوانند در یک زمان اتفاق بیفتند. و اگر :۷ به ۷ طریق انجام پذیرد. آن‌گاه یکی از / پیشامد می‌تواند به ,+۲۰۰۰ 1۲+ ۱۱ طریق رخ دهند. مثال ۱.۱ اگر کلاسی شامل ۱۸ پسر و ۱۲ دختر باشد. آن‌گاه ۲۰ < ۱۲ + ۱۸ طریق برای انتخاب یک دانشجو (پسر یا دختر) به عنوان نماینده‌ی کلاس وجود دارد. مثال ۲.۱ فرض کنید ۷۷ پیشامد انتخاب یک عدد اول کوچکتر از ۱۰ و ۷ پیشامد انتخاب یک عدد زوج کمتر از ۱۰ باشد. در این صورت ۴-۱-۷ + ۴ طریق انجام بپذیرد.»