بریده‌هایی از کتاب در ستایش ریاضیات

اکثریت ریاضی‌دان‌ها «افلاطونی» اند. آنها نهادهٔ دوم یعنی بازی زبانی و صورت‌گرایی محض را باور ندارند، نهاده‌ای که در واقع اساساً خاستگاه فلسفی دارد. آنها بر این عقیده‌اند که ابژه‌ها یا ساختارهای ریاضیاتی‌شدنی به‌گونه‌ای «وجود دارند». چرا بر این عقیده‌اند؟ بی‌شک به این دلیل که آنها غالباً تجربه کرده‌اند که هنگام کار ریاضی° «چیزی» مقاومت می‌کند و ریاضی‌کارها با یک‌جور دشواری و واقعیتِ سخت و نفوذناپذیر روبه‌رو می‌شوند. اما چه چیزی است که مقاومت می‌کند؟ اگر مسئله صرفاً بر سر بازی باشد که بارها و بارها کاملاً رمزگذاری شده است، باید مثل گشایش‌ها در شطرنج یا چیزی نظیر آن باشد.

شما، آلن بدیو، طرفدارِ کدام‌یک از دو برداشتِ بزرگ از ریاضیات هستید: برداشتِ واقع‌گرایانه یا برداشتِ صورت‌گرایانه؟ از بینِ این دو نگرش، و بدون هیچ بحث اضافی در دفاع از یکی یا دیگری، من برداشت واقع‌گرایانه را انتخاب می‌کنم: اندیشهٔ ریاضی نوعی «محتوا» ی واقعی دارد. این اندیشه نه بازی زبانی است __ حتی اگر مستلزم صورت‌گرایی‌های پیچیده باشد __ و نه شاخهٔ فرعیِ منطقِ محض است. من در این مورد با اکثریت ریاضی‌دان‌ها موافقم. شاید این توسل به «اکثریت» کم‌وبیش عوام‌فریبی مرا نشان دهد: چنان‌که می‌دانید، مفهوم «اکثریت» حتی در سیاست نیز واقعاً خوراک من نیست. با این‌همه، حقیقت این است که اکثریت ریاضی‌دان‌ها «افلاطونی» اند.

شاید بپرسید: چرا اثبات بی‌نهایت، که در مورد کسرها کار می‌کند، در موردِ دو عدد طبیعیِ متوالی، که به هر حال کسر هستند، کار نمی‌کند؟ می‌توان عددِ n را به‌صورت «n تقسیم بر ۱» یا بنویسم. و تالیِ n را می‌توان به‌صورتِ نوشت. خُب؟ خُب، نتیجهٔ محاسبهٔ بالا می‌شود، که واقعاً بین n و n + ۱ است اما... اِشکالش این است که عددِ طبیعی نیست. اگر با اعداد کسری (اعداد گویای مثبت) کار می‌کنید می‌توانید آن را محاسبه کنید، اما در موردِ اعداد طبیعی چنین چیزی ناممکن است.

اگر همان عملیات را انجام دهید باید کسر دیگری وجود داشته باشد. و از آنجا که این فرایند می‌تواند «تا بی‌نهایت» ادامه یابد، این نتیجهٔ بسیار قوی را خواهیم گرفت: بین دو کسر متفاوت همواره تعدادِ بی‌نهایتی از کسرها وجود دارد. این نکته معنای واقعی تقابل بین ترتیب گسسته و فشرده را نشان می‌دهد: آنجا که (بینِ دو عدد صحیح متوالی) ممکن است «هیچ‌چیز» باشد، (بین دو کسر متفاوت) بی‌نهایت وجود دارد.

بنابراین بین آن دو (در واقع، درست در میانه) است. در نتیجه، ترتیب این کسرها گسسته نیست بلکه فشرده است، و این بدین معناست که، اولاً، بین دو کسر متفاوت همواره دست‌کم کسرِ سومی وجود دارد که متفاوت با دو کسرِ نخست است. و، ثانیاً، بنابراین بین کسر اول، یعنی و کسری که همین حالا نشان دادم درست در میانهٔ فضای بین

هیچ عددی بین عددِ n و n+۱ وجود ندارد. فضای بین آن دو تهی است، یک حفره. می‌توانیم ببینیم که این وضعیت در مورد کسرها (که از اعداد طبیعی تشکیل یافته‌اند) صادق نیست.

. برای نمونه، افلاطون فکر می‌کرد بهتر است رهبران سیاسی دست‌کم ده سال ریاضیات پیشرفته مطالعه کنند. او پافشاری می‌کرد که رهبران نباید خود را به سطح مقدماتی راضی کنند، زیرا مشخصاً باید هندسهٔ فضایی کار کنند. از آنجا که در روزگار افلاطون هندسهٔ فضایی تازه ظهور کرده بود، می‌توان گفت که از دید افلاطون، رهبر حقیقیِ دولت ایدئال باید کسی مثل آنری پوانکاره، نابغهٔ ریاضی، باشد نه کسی مثل رِمون پوانکاره، رئیس‌جمهور ارتجاعی، که عمدتاً مسئول جنگ جهانیِ اول بود. اساساً، از دید افلاطون، روش درست این است که برندگان جایزهٔ نوبل یا مدال فیلدز را به‌عنوان رئیس جمهور انتخاب کنیم. مسلماً، دیدگاه افلاطون بدیل سیاسی کاملاً متفاوتی با آنچه امروز اتفاق می‌افتد است...

در سرتاسر قرن اخیر نزاع بین جهت‌گیری‌های واقع‌گرایانه و صورت‌گرایانه (یا زبان‌شناختی) چنان شدید بود که نوابغ، فیلسوفان و/یا ریاضی‌دانان، در نهایت خود را در دو طرف مخالف یافتند. با این‌همه، این نزاع بر سر چیستی ریاضیات عملاً از همان آغاز وجود داشت. پیشتر گفتم که ارسطو ریاضیات را بیش از همه نوعی زیبایی‌شناسی می‌انگاشت. از این‌رو، آن را بی‌ارتباط با واقعیت و آفرینشی دلبخواهی می‌نگریست که نوعی لذت اندیشه ایجاد می‌کند. برعکس، از دید افلاطون، ریاضیات یگانه بنیاد دانش عقلانی کلی و جهان‌شمول بود: فیلسوف مطلقاً باید با ریاضیات آغاز کند. حتی اگر در نهایت از ریاضیات فراروی کند، نخست باید آن را یاد بگیرد

به همین دلیل است که مسائلِ بسیار پیچیده‌ای مطرح شد که از همان آغازِ ریاضیاتِ برهانی° ترکیبی از هندسه و ریاضیات را به وجود آورد. یک مثالِ معروف: اگر طولِ شعاعِ یک دایره را بدانید، آیا می‌توانید محیطِ آن دایره را پیدا کنید؟ اینجاست که عددِ π ظاهر می‌شود: اگر r طولِ شعاعِ دایره باشد، آن‌گاه محیطِ دایره برابر است با πr۲. نکتهٔ درخورِ توجه این است که ماهیتِ حقیقیِ عددِ π تازه در قرن نوزدهم اثبات شد: فقط آن موقع ریاضی‌دان‌ها توانستند اثبات کنند (و این اصلاً کارِ آسانی نبود!) که چرا π نمی‌تواند عددِ صحیح یا نسبتِ دو عددِ صحیح (همان کسر که آن نیز عددِ گویا است) باشد، یا حتی جوابِ معادله‌ای باشد که ضرایبش اعدادِ صحیح‌اند. امروز این اعداد را که تن به محاسبه نمی‌دهند اعدادِ «استعلایی» می‌نامند و اینها به‌تنهایی بخشِ مهمی از ریاضیاتِ مدرن را تشکیل می‌دهند.

ریاضیات از آغازش نزدِ یونانی‌ها با چندین حیطهٔ مرتبط سروکار داشته است. برای یونانی‌ها، اساساً دو حیطه از این دست وجود داشت. نخست، هندسه که ابژه‌ها و ساختارها را در فضا مطالعه می‌کند: در دو بُعد، هندسهٔ مسطحه (مثلث‌ها، دایره‌ها و غیره)، یا در سه بُعد، هندسهٔ فضایی (مکعب‌ها، کره‌ها و غیره). دوم، حساب که اعداد را مطالعه می‌کند. پیوندِ بینِ این دو، مسئله‌ای بسیار مهم و دشوار مربوط به اندازه‌گیری است: یک پاره‌خط، همین‌که واحدِ اندازه‌گیری تعیین شود، دارای طولِ مشخصی می‌شود که در واقع یک عدد است

این گسست برای خود فلسفه پی‌آمدهای فاجعه‌باری داشته است. این گسست به کنارگذاری شروط واقعی وجود و شکل‌گیری مفاهیمی منجر شده است که همچنان در فلسفه استفاده می‌شود. و فیلسوفان با چیزهای تازه‌ای که ریاضی‌دانان در خصوص این مفاهیم تعریف و اثبات کرده‌اند فرسنگ‌ها فاصله دارند. ترسم این است که جبران این وضعیت فاجعه‌بار مدت‌ها طول بکشد. با این‌همه ما باید، از سویی، اشاعهٔ لذت ریاضیات و، از سوی دیگر، احیای تمایل به متافیزیکِ عقلانی را آغاز کنیم.

امروز فیلسوفان نمی‌توانند از منطق، و بنابراین از منطق ریاضی، بی‌اطلاع باشند.

به همین‌سان، در فلسفه همچنان از «منطق» سخن گفته می‌شود، اما اگر چیزهایی را که در منطق اتفاق افتاده است __ یعنی بازآفرینی‌های صوریِ مداومِ آن را __ به‌دقت بررسی نکنید، مطمئناً فهمی ناقص و کاذب از کلمهٔ «منطق» خواهید داشت. حقیقت این است که امروز منطق، یا بیشتر° منطق‌ها، بخشی از ریاضیات شده‌اند.

. به نظر من، این شکاف بسیار جدی است به‌ویژه از آن جهت که ریاضیاتِ اواخر قرن نوزدهم به این‌سو در واقع ریاضیاتی بوده که چیزهای زیادی را در اساسی‌ترین مفاهیم فلسفی به‌شدت تغییر داده است.

به عقیدهٔ من، نقطهٔ عطفی وجود داشت که در اواخر قرن نوزدهم آغاز شد، نقطهٔ عطفی که آن را به یک معنای مشخص پادفلسفی می‌نامم، با شخصیت‌های درخشانی نظیر نیچه یا ویتگنشتاین. اینها ستاره‌های بزرگی هستند که نبوغ‌شان را تصدیق می‌کنم اما برنامهٔ فلسفه را به سمت و سویی کشاندند که از زمان افلاطون سمت و سوی آن نبوده است. مشخصاً آنها بودند که از پذیرفتن ایدهٔ فلسفه‌ای جامع و نظام‌مند روی‌گردان شدند و این کار° خطر بی‌اعتنایی به ریاضیات را به وجود آورد

به عقیدهٔ من، نقطهٔ عطفی وجود داشت که در اواخر قرن نوزدهم آغاز شد، نقطهٔ عطفی که آن را به یک معنای مشخص پادفلسفی می‌نامم، با شخصیت‌های درخشانی نظیر نیچه یا ویتگنشتاین. اینها ستاره‌های بزرگی هستند که نبوغ‌شان را تصدیق می‌کنم اما برنامهٔ فلسفه را به سمت و سویی کشاندند که از زمان افلاطون سمت و سوی آن نبوده است. مشخصاً آنها بودند که از پذیرفتن ایدهٔ فلسفه‌ای جامع و نظام‌مند روی‌گردان شدند و این کار° خطر بی‌اعتنایی به ریاضیات را به وجود آورد

از دیدِ کانت، همان‌طور که از دیدِ دکارت و اسپینوزا، ریاضیات همین‌که به‌دست تالس ابداع شد راه بی‌نهایت را برای علم هموار ساخت و اگر وجود نمی‌داشت __ به هر حال، انسان‌ها ده‌ها هزار سال قبل از آنکه یونانی ها هندسهٔ برهانی و حساب را ابداع کنند وجود داشتند __ این پرسش فلسفی که «احکام صادقِ کلی از کجا برمی‌آیند؟» هرگز نمی‌توانست صورت‌بندی یا پاسخ داده شود.

برداشت کانت از ریاضیات برداشتی «پیشینی‌باور» است، به این معنا که سازمان‌دهی اندیشهٔ ریاضی در تجربهٔ ملموس ریشه ندارد بلکه مقدم بر آن است؛ ریاضیات نسبت به تجربه به‌نحوِ پیشینی وجود دارد، نه پسینی.

اما یک‌صد سال بعد کانت دربارهٔ ریاضیات چه گفت؟ او در درآمدِ نقد عقل محض تکرار می‌کند که ریاضیات برای وجود فلسفه، به‌ویژه فلسفهٔ انتقادی که او می‌خواست آن را در حال‌وهوای روشنگری بنیادگذاری کند، مطلقاً ضروری بوده است. اگر علم نبود او هرگز نمی‌توانست این پرسش را مطرح کند که «خصلت کلی علوم از کجا می‌آید؟» و، همان‌طور که نیوتون گواه آن است، اگر ریاضیات نبود هیچ‌گونه علمِ طبیعی هرگز نمی‌توانست وجود داشته باشد. او همچنین اضافه می‌کند که، و این سخن همواره روحم را لمس کرده است، ابداعِ ریاضیات نتیجهٔ «الهام فرخندهٔ مردی تک و تنها» است، که از نظر او تالس بود. بنابراین، کانت نیز می‌خواست نشان دهد ظهور ریاضیات نه ضرورتی تاریخی بلکه یک پیشایندیِ خلاقانه بود.

حال، اسپینوزا را در نظر بگیریم که او نیز فیلسوفی قرنِ هفدهمی است. اسپینوزا کتابِ اخلاق را با این گفته آغاز می‌کند که اگر ریاضیات وجود نداشت، انسان در جهالت می‌ماند، مخصوصاً به این دلیل که کماکان همه‌چیز را با «علل غایی»، اساطیر، یا تأثیرِ نیروهای فراطبیعی تبیین می‌کرد. از این‌رو، خودِ اسپینوزا اخلاقیاتش را در این ایده حک می‌کند که به یک معنای مشخص پی‌آمد ممکن وجود ریاضیات است. به دیدهٔ او، نقش کلیدی ریاضیات بی‌اعتبارسازیِ تبیین‌های مبتنی بر علل غایی، کنارگذاری غایت‌مندی از عرصهٔ فلسفی (که همچنان در سنت ارسطویی اهمیت فراوان داشت)، و پای‌بندی به استدلال‌های قیاسی بوده است