بریده‌هایی از کتاب در ستایش ریاضیات

فلسفه کردار شاد وجود چند حقیقتِ واقعی نیست، بلکه در عوض نوعی نمایش امکان حقایق است و بنابراین امکانِ نیک‌بختی را به ما می‌آموزد. به همین دلیل است که من فلسفه را «متافیزیکِ نیک‌بختی» می‌نامم و نه «نظریهٔ نیک‌بختی». در این بافتار است که من با لذت وافر به کار ریاضی ادامه می‌دهم. به‌ویژه از آن جهت که حقایقِ ریاضیاتی نقشی حیاتی را در متافیزیکی که پیش می‌نهم ایفا می‌کنند.

قرار نیست من مدافع دوآتشهٔ حق انحصاری ریاضیات در نیک‌بختی باشم! با این‌همه، شادی ورزشکار خودشیفته‌وار است: او در مقام یک خودِ فردی در انجام کاری به موفقیت دست می‌یابد. درحالی‌که، احساس شادی‌ای که در ریاضیات به شما دست می‌دهد به‌طور بی‌میانجی کلی است: شما می‌دانید که این احساس را دیگران نیز اگر در همان مسیر استدلال و فهم پیش بروند تجربه خواهند کرد. نیک‌بختی، در ریاضیات بیشتر از هر جای دیگر، لذت دشوار امر کلی است. مطمئناً فلسفه نیز می‌کوشد سوژه را از میان این نیک‌بختی راه ببرد. اما اجازه دهید یادآور شوم که فلسفه، از آنجا که به شروطش روی می‌آورد، بیش از آن که خودش منبعِ نیک‌بختی باشد نشان می‌دهد که منابع نیک‌بختی (تحت نام ژنریکِ «حقایق») در کجا قرار دارند.

منظورِ اسپینوزا از ایدهٔ تام دقیقاً همین است، یعنی شناساییِ نوع سوم [شهود و دیدن]. و برداشتِ او از نیک‌بختی نیز به‌سادگی همین است، که آن را beatitudo intellectualis یا بهجتِ عقلی می‌نامد.

اسپینوزا در آخرین صفحاتِ کتاب اخلاق از بهجت عقلی سخن می‌گوید. بهجت عقلی چیزی جز این نیست که انسان به «ایدهٔ تام» دست یابد و یگانه مثال‌هایی از ایده‌های تام که او می‌آورد در پیوندِ با ریاضیات هستند. اسپینوزا می‌گوید، با ایدهٔ تام، ایده‌ای از نوعِ سوم، دیگر سخت درگیرِ حلِ مسئله (که همچنان نوع دوم شناسایی است)، ملالِ کسالت‌بار اثبات و تمرین طاقت‌فرسای ریاضیاتی نیستید، بلکه مشغولِ ترکیب بازسازانه می‌شوید. از دید من، این لحظه‌ای است که شما فهمیده‌اید _ و جالب اینکه لاکان نیز در مقامِ یک فرویدی حقیقی از «لحظهٔ فهمیدن» سخن می‌گوید. درست است که باید گام‌های ملال‌آور اثبات را سپری کنید، اما لحظه‌ای هست که نور می‌تابد و سپیده می‌دمد

این واقعیت که در هر مجموعه تعداد زیرمجموعه‌ها بیشتر از تعداد اعضاست به این معناست که سرشاری و سرچشمهٔ غنی جمعیت (زیرمجموعه‌ها) بر افراد غالب می‌آید.

امروز تقریباً همه پذیرفته‌اند که ذوقِ هنری فقط به فرهنگِ محلی و «تمدنِ» خاص بستگی دارد یا اینکه عشق° انتخابی پیشایند و پایان‌پذیر است که بناست قراردادی با منافعِ متقابل برای زوجِ عاشق فراهم کند. در سیاست، مسلم گرفته‌اند که هیچ حقیقتی در کار نیست فقط عقایدِ ناپایداری وجود دارد که باید تا جایی که می‌توان به‌طور تجربی آنها را ایجاد کرد. در برابر، من متقاعد شده‌ام که حقایقِ مطلقی وجود دارند که، گرچه در زمانِ آفرینش‌شان از خاکی جزئی استخراج شده‌اند، با این‌همه به‌گونه‌ای ساخته می‌شوند که ارزشِ آنها کلیت‌یافته می‌شود.

نظریه‌های علمی حقایقی دربارهٔ خود هستی (ریاضیات) یا قوانین «طبیعی» جهان‌ها هستند که دربارهٔ آنها می‌توانیم دانش تجربی (فیزیک و زیست‌شناسی) داشته باشیم. حقایق سیاسی به سازمان‌دهی جوامع، قوانین زندگی جمعی و بازسازمان‌دهی آن در پرتو اصول کلی یا جهان‌شمول نظیر آزادی و امروزه عمدتاً برابری مربوط می‌شود. حقایق هنری دربارهٔ انسجام صوری آثار اتمام‌یافته‌ای هستند که به آنچه حواس‌مان ادراک می‌کند والایش می‌بخشند: موسیقی به‌لحاظ شنیداری، نقاشی و مجسمه‌سازی به‌لحاظ دیداری، شعر و شاعری به‌لحاظ گفتاری...

تجربه __ که برای فیزیک پرهیزناپذیر است __ به‌طور معقول نشان می‌دهد که قضیه عموماً این نیست: ما قاعده‌مندی‌ها، ابژه‌های منسجم، آسمان ثابت، و حرکات بی‌تغییر و جز اینها را مشاهده می‌کنیم. از این‌رو باید تلاقی فیزیک و ریاضیات را بپذیریم که ابداً مانع استقلال ریاضیات به‌مثابه آپاراتوسِ اندیشه نمی‌شود بلکه، برعکس، آن را مسلم می‌گیرد.

اگر قوانینِ فیزیک تصادفاً از قاعده‌مندی‌هایی پیروی می‌کنند که فقط به زبان ریاضی می‌توان آنها را صوری کرد، فقط به این دلیل است که هدف آن زبان همواره اندیشیدن به اَشکال ممکن هر آن چیزی بوده است که در هستی‌اش بر نوعی انسجام استوار است. باری، آنچه هست در واقع از کثرت‌هایی تشکیل شده است که انسجامِ معینی دارند. اگر این‌طور نبود، در هر لحظه باید آشفتگی پیش‌بینی‌ناپذیر تمام‌عیار وجود می‌داشت.

ادعای من این نیست که صورت‌های ساختاری که ریاضیات مطالعه می‌کند دیر یا زود «محتاج» اعتبار و تصدیقی می‌شوند که تجربه فراهم می‌کند. نهادهٔ من جز این نیست که ریاضیات° هستی‌شناسی است، یعنی مطالعهٔ مستقلِ صورت‌ها و اَشکال ممکن امر کثیر به‌طور عام، اَشکال ممکن هر گونه کثرت، و بنابراین اَشکال ممکن هر آنچه هست _ زیرا هر آنچه هست به هر حال کثیر است

به نظر من، این نکته معمای رابطهٔ بین علوم صوری نظیر ریاضیات و علوم تجربی نظیر فیزیک را حل می‌کند. اما آیا این نکته واقعاً برای تبیین تناظر بین قوانین فیزیکی که بر امر واقعی حکمفرماست و ساختارهای ریاضی که «وجودهای ایده‌ای» هستند کافی است؟ آیا ریاضیات نمی‌توانست بدون ماده و امر واقعی که از قوانین فیزیکی و قاعده‌مندی‌ها پیروی می‌کنند و نیز به زبانِ ریاضی قابل‌بیان‌اند وجود داشته باشد؟

به نظر من، این نکته معمای رابطهٔ بین علوم صوری نظیر ریاضیات و علوم تجربی نظیر فیزیک را حل می‌کند.

اگر، در خصوصِ آنچه هست، بخواهید بدانید که اندیشدن فقط به هستیِ آن (یعنی نه این امر که درخت، برکه، یا انسان است بلکه این امر که هست) به چه معناست، روشن است که یگانه راه پیشِ روی شما اندیشیدن به ساختارهای مطلقاً صوری است، یعنی ساختارهایی که مشخصات فیزیکی آنها نامعیّن است. و علم این ساختارهایی که به‌لحاظ مشخصات فیزیکی نامعین‌اند ریاضیات است. و حتی ریاضیات است که صورت‌ها و اَشکالی نظیر اعداد موهومی را قبل از آنکه دانسته یا تصور شود که در جایی دیگر بالفعل یا فعلیت‌پذیرند ابداع کرد.

نتیجه‌گیری به‌شدت فلسفی خود من این است که، در واقعیت، ریاضیات صرفاً علم هستی به‌مثابه هستی است، یعنی علم چیزی که فیلسوفان به‌طور سنتی هستی‌شناسی می‌نامند. ریاضیات علم «هر آنچه وجود دارد» است، که در سطح مطلقاً صوری‌اش به چنگ می‌آید، و به همین دلیل است که ابداعات ناسازه‌وارِ ریاضیات ممکن است در پژوهش‌های فیزیکی نیز استفاده شود. چند مثال بسیار آموزنده در این خصوص وجود دارد؛ چشمگیرترین آنها اعدادِ مختلط یا موهومی هستند که صرفاً به‌منزلهٔ بازی محض ابداع شدند __ حتی آنها را «موهومی» نامیدند تا مشخص شود که وجود ندارند. گرچه این اعداد وجود ندارند، اما می‌توان با آنها بازی کرد.

نتیجه‌گیری به‌شدت فلسفی خود من این است که، در واقعیت، ریاضیات صرفاً علم هستی به‌مثابه هستی است، یعنی علم چیزی که فیلسوفان به‌طور سنتی هستی‌شناسی می‌نامند. ریاضیات علم «هر آنچه وجود دارد» است، که در سطح مطلقاً صوری‌اش به چنگ می‌آید، و به همین دلیل است که ابداعات ناسازه‌وارِ ریاضیات ممکن است در پژوهش‌های فیزیکی نیز استفاده شود. چند مثال بسیار آموزنده در این خصوص وجود دارد؛ چشمگیرترین آنها اعدادِ مختلط یا موهومی هستند که صرفاً به‌منزلهٔ بازی محض ابداع شدند __ حتی آنها را «موهومی» نامیدند تا مشخص شود که وجود ندارند. گرچه این اعداد وجود ندارند، اما می‌توان با آنها بازی کرد.

نتیجه‌گیری به‌شدت فلسفی خود من این است که، در واقعیت، ریاضیات صرفاً علم هستی به‌مثابه هستی است، یعنی علم چیزی که فیلسوفان به‌طور سنتی هستی‌شناسی می‌نامند. ریاضیات علم «هر آنچه وجود دارد» است، که در سطح مطلقاً صوری‌اش به چنگ می‌آید، و به همین دلیل است که ابداعات ناسازه‌وارِ ریاضیات ممکن است در پژوهش‌های فیزیکی نیز استفاده شود. چند مثال بسیار آموزنده در این خصوص وجود دارد؛ چشمگیرترین آنها اعدادِ مختلط یا موهومی هستند که صرفاً به‌منزلهٔ بازی محض ابداع شدند __ حتی آنها را «موهومی» نامیدند تا مشخص شود که وجود ندارند. گرچه این اعداد وجود ندارند، اما می‌توان با آنها بازی کرد. این اعداد بعدها در قرن نوزدهم به ابزار اساسی مورد استفاده در الکترومغناطیس تبدیل شدند،

نتیجه‌گیری به‌شدت فلسفی خود من این است که، در واقعیت، ریاضیات صرفاً علم هستی به‌مثابه هستی است، یعنی علم چیزی که فیلسوفان به‌طور سنتی هستی‌شناسی می‌نامند. ریاضیات علم «هر آنچه وجود دارد» است، که در سطح مطلقاً صوری‌اش به چنگ می‌آید، و به همین دلیل است که ابداعات ناسازه‌وارِ ریاضیات ممکن است در پژوهش‌های فیزیکی نیز استفاده شود. چند مثال بسیار آموزنده در این خصوص وجود دارد؛ چشمگیرترین آنها اعدادِ مختلط یا موهومی هستند که صرفاً به‌منزلهٔ بازی محض ابداع شدند __ حتی آنها را «موهومی» نامیدند تا مشخص شود که وجود ندارند. گرچه این اعداد وجود ندارند، اما می‌توان با آنها بازی کرد. این اعداد بعدها در قرن نوزدهم به ابزار اساسی مورد استفاده در الکترومغناطیس تبدیل شدند،

آیا بی‌نهایت اعداد اولِ دوقلو وجود دارد؟ روشن است که هر چه در دنبالهٔ اعداد پیشتر می‌روید، تعداد آنها «کمتر» می‌شود. اما در نهایت با استفاده از کامپیوترهای بسیار قدرتمند چندین اعداد اولِ دوقلوی واقعاً بزرگ یافت شد که برای نوشتنِ آنها بیش از ۲۰۰۰۰۰ رقم لازم است! با این‌همه، اعداد بزرگی نظیرِ اینها، در مقایسه با نامتناهیت اعداد، واقعاً خیلی بزرگ نیستند. این صرفاً مثالی است که می‌تواند امر واقعی مسئله را لمس کند. پس؟ خُب، هنوز نمی‌دانیم که آیا با ادامه‌دادن دنبالهٔ اعداد صحیح° دوباره، شاید «تا بی‌نهایت»، اعداد اولِ دوقلو خواهیم یافت یا خیر. چگونه می‌توان اینجا فکر کرد که جز ابداعاتِ بازیگوشانهٔ ذهنِ خودِ ما هیچ امرِ واقعی دیگری در کار نیست؟

هنگام کارِ ریاضی این احساس به شما دست می‌دهد که انگار یک‌جور واقعیت بیرونی را لمس می‌کنید، به این معنا که صرفاً با ساخته‌وپرداختهٔ ذهن خود درگیر نیستید. اگر این‌طور نبود، به‌سختی می‌توانستیم دشواری وحشتناک و مقاومت فوق‌العاده‌ای را درک کنیم که هنگام تلاش برای اثبات خصوصیات مشخصی که واقعاً پایه‌ای به نظر می‌رسند با آنها روبه‌رو می‌شویم. برای مثال، این مسئلهٔ ساده را در نظر بگیرید: اعداد اول دوقلو، یعنی اعداد اولی که از پی هم می‌آیند و در آنها عدد دوم مساوی است با عددِ اول به‌اضافهٔ ۲. برای نمونه، ۵ و ۷، یا ۱۱ و ۱۳، یا ۷۱ و ۷۳، و غیره. مسئله این است: آیا بی‌نهایت اعداد اولِ دوقلو وجود دارد؟ روشن است که هر چه در دنبالهٔ اعداد پیشتر می‌روید، تعداد آنها «کمتر» می‌شود.

اگر شما گشایش‌های شطرنج را خوب بلد باشید، حتی تا آنجا که به پیشرفت‌های بسیار جدیدتر مر بوط می‌شود، پیشاپیش برتری راهبردیِ بزرگی خواهید داشت. اما به‌طور عام ریاضی‌دان‌ها چنین برداشتی ندارند. برعکس، برداشت آنها این است که مسیر حل مسئله (مسیری که گاه طی‌کردنش چندین قرن طول می‌کشد، مثل قضیهٔ آخر فرما که حلِ آن اصلاً گام کوچکی نبود) مسیری است که باعث می‌شود یک‌جور امر واقعی را لمس کنید و نوعی پیچیدگیِ درونی دارد. اینکه ماهیت دقیق آن امر واقعی چیست، بحثی دیگر است. اما به هر روی هنگام کارِ ریاضی این احساس به شما دست می‌دهد که انگار یک‌جور واقعیت بیرونی را لمس می‌کنید، به این معنا که صرفاً با ساخته‌وپرداختهٔ ذهن خود درگیر نیستید.