کتاب در ستایش ریاضیات

اکثریت ریاضی‌دانان رابطه‌ای شدیداً نخبه‌گرایانه با رشتهٔ خود دارند. آنها فکر می‌کنند یگانه کسانی هستند که آن را می‌فهمند و همین است که هست

زیرا آنچه نهایتاً در ریاضیات اهمیت دارد خلاقیت و نوآوری است که غالباً پس از شب‌های دراز کارِ آهسته و نامطمئن به‌شکلِ نوعی شهود فرخنده به ذهن آنها خطور می‌کند. پوانکاره در یکی از معروف‌ترین نوشته‌های خود توضیح می‌دهد مسئله‌ای که هفته‌ها روی آن سخت کار کرده بود ناگهان درست زمانی که پایش را بر پلهٔ اتوبوس می‌گذاشت برایش روشن شد. ریاضیات چنین چیزی است.

واقعیت این است که ریاضی‌دان‌ها معیار مشترکی برای بررسیِ مسئله دارند و به هیمن دلیل است که می‌توانند در مورد صدق یا کذبِ برهانِ معینی به توافق برسند

اگر با کسی که عاشقش هستید ریاضی کار کنید، که بنده در زندگی‌ام چند بار تجربه‌اش را داشته‌ام، و اگر سعی کنید راه‌حلِ یک مسئلهٔ دشوارِ واحد را با هم پیدا کنید، خُب، اینجا با تجربه‌ای عاشقانه و در عین حال ریاضیاتی سروکار داریم. وقتی راه‌حل مسئله را با هم پیدا می‌کنید، شادی‌تان دوچندان می‌شود، و دیگر اینجا نمی‌توان گفت که این شادی متعلق به گسترهٔ ریاضی است یا عشق. سیاست چطور؟ آیا گمان می‌کنید ریاضیات می‌تواند یکی از ملزومات مهم سیاست باشد؟ هیچ پیوند آشکاری بین ریاضیات و سیاست وجود ندارد. درجهٔ صفرِ پیوند بین آن دو شمارش آرا در شب انتخابات است.

اما یک‌صد سال بعد کانت دربارهٔ ریاضیات چه گفت؟ او در درآمدِ نقد عقل محض تکرار می‌کند که ریاضیات برای وجود فلسفه، به‌ویژه فلسفهٔ انتقادی که او می‌خواست آن را در حال‌وهوای روشنگری بنیادگذاری کند، مطلقاً ضروری بوده است. اگر علم نبود او هرگز نمی‌توانست این پرسش را مطرح کند که «خصلت کلی علوم از کجا می‌آید؟» و، همان‌طور که نیوتون گواه آن است، اگر ریاضیات نبود هیچ‌گونه علمِ طبیعی هرگز نمی‌توانست وجود داشته باشد. او همچنین اضافه می‌کند که، و این سخن همواره روحم را لمس کرده است، ابداعِ ریاضیات نتیجهٔ «الهام فرخندهٔ مردی تک و تنها» است، که از نظر او تالس بود. بنابراین، کانت نیز می‌خواست نشان دهد ظهور ریاضیات نه ضرورتی تاریخی بلکه یک پیشایندیِ خلاقانه بود.

ریاضیات را ابداً نباید فقط رشته‌ای دانشگاهی انگاشت که وظیفه‌اش گزینش افرادی است که مهندس یا وزیر کشور خواهند شد بلکه باید چیزی تلقی کرد که در خود و به خودیِ خود عمیقاً جالب است. ریاضیات، به‌سان هنرهای زیبا و سینما، به دلایلی که بعدتر اشاره خواهم کرد، باید جزءِ لاینفک فرهنگ عامهٔ ما باشد. اما معلوم است که این‌طور نیست _ وضع سینما از این هم بدتر است و در نتیجه شاید رسواکننده‌تر باشد. به همین دلیل، افکار عمومی دربارهٔ ریاضیات بینِ دو رویکردِ زیر دوپاره شده است: نوعی احترام مؤدبانه به نخبه‌گراییِ آن __ با حمایت از فایده‌ای که ادعا می‌شود برای فیزیک یا تکنولوژی دارد __ و نوعی جهل و نادانی که در این باور خلاصه شده است: «من ژنِ ریاضی ندارم». فکر می‌کنم این وضعیتْ زیان‌آور و حتی اسفناک است.

به‌گمانم در مجموع کارکردِ ریاضیات در حرفهٔ آموزش چیزی نیست که باید باشد، و شاید هرگز چیزی نبوده است که باید می‌بود. دلیل این موضوع این است که وقتی ریاضیات تدریس می‌کنید، ابتدا باید دانش‌آموزان را متقاعد کنید که درس جالبی است. نباید بگویید: «چیزی است که حتماً باید بدانید: فقط فلان و بهمان را یاد بگیرید و تمام، همین کافی است». این روش در نهایت به شما اجازه می‌دهد از پسِ چیزهای ضروری، مثل جدول ضرب و جز آن، برآیید. این صرفاً رویکردی پراگماتیک به آموزش شمارش است. اما اگر مسئله بر سرِ ریاضیاتِ حقیقی باشد، ریاضیاتی که شما را با مسائل مهم و به همان اندازه پیچیده مواجه می‌کند، آن‌گاه باید این احساس را در دانش‌آموزان به وجود آورید که با چیز جالبی سروکار دارند، و همان‌طور که قبلاً گفتم این موضوع در مورد انتقال هر نوعی از دانش صدق می‌کند.

بعدها، غالباً ریاضیات را با کوهنوردی مقایسه می‌کردم: راه° طولانی و دشوار است، با هزاران پیچ و چرخش و فراز و نشیب. گمان می‌کنید که سرانجام به پایان راه رسیده‌اید، اما بازهم پیچی دیگر را باید پشت سر بگذارید... حسابی عرق می‌ریزید و زور می‌زنید، اما وقتی به اوج مسیر می‌رسید، پاداشْ غیرقابل‌مقایسه است: آن شگفتی، آن زیبایی غایی ریاضیات، آن زیبایی نایاب و تماماً بی‌همتا. به همین دلیل است که من هنوز هم از این منظرِ زیبایی‌شناختی از ریاضیات دفاع می‌کنم و یادآور می‌شوم که این منظر° قدمتی طولانی دارد زیرا ارسطو در واقع ریاضیات را نه دیسیپلین حقیقت بلکه دیسیپلینِ زیبایی می‌انگاشت. او ادعا می‌کرد که عظمت ریاضیات بیش از آنکه هستی‌شناختی یا متافیزیکی باشد زیبایی‌شناختی است.

ریاضیات به‌سبب توان زیبایی‌شناختی و خلاقیتی که می‌طلبد از شما می‌خواهد سوژه‌ای شوید که آزادی‌اش نه‌تنها در تقابل با نظم و انظباط نیست بلکه مستلزمِ آن است

نیک‌بختی، در ریاضیات بیشتر از هر جای دیگر، لذت دشوار امر کلی است

عشق° ماتریسِ وجودیِ اندیشیدن به تفاوت به‌طور عام است. عشق° امکانِ زیستن در عینِ تفاوت است، نه در عین بی‌تفاوتی و بی‌اعتنایی؛ به بیانِ دیگر، امکان تجربهٔ چگونگی ارتباط و تعامل با جهان از نظرگاه دو است و نه فقط از نظرگاه یک. پس عشق یادگیریِ وجودیِ دیالکتیک است، یعنی آموختن غنای تفاوت. یکی از دلایل وجود آثار ادبی فراوان دربارهٔ قدرت عشق دقیقاً همین است، یعنی غلبه بر تفاوت‌های تصنعی و پذیرش فرارَوی از این‌همانی.

ریاضیات° شهود و اثبات را به‌شیوه‌ای بی‌همتا ترکیب می‌کند، کاری که متن فلسفی نیز تا جایی که ممکن است باید انجام دهد.

اصول‌نامهٔ «جامعِ» بزرگِ ریاضیاتِ مدرن، که در سال‌های ۱۹۳۰ گروهی از ریاضی‌دانانِ فرانسوی که خود را «بورباکی» نامیدند تدوینِ آن را بر عهده گرفتند، از همان آغاز بینِ دو نوع ساختار تمایز می‌گذارد: ساختارهای جبری (جمع، تفریق، تقسیم، ریشه‌گیری و غیره) که محاسبات را امکان‌پذیر می‌کنند، و ساختارهای توپولوژیک که اندیشیدن به آرایش‌های فضایی (همسایگی‌ها، درون و بیرون، فضای باز و بسته و غیره) را امکان‌پذیر می‌کنند. روشن است که این تمایز در تمایز بین حساب و هندسه ریشه دارد. بنابراین، پیچیده‌ترین و جالب‌ترین مسائل ریاضی آشکارا آن مسائلی هستند که این دو جهت‌گیری را در هم می‌آمیزند، به‌ویژه مسائل هولناک هندسهٔ جبری.

باید بگویم آنچه واقعاً افسونم کرد این احساس بود که کار ریاضی کمی شبیه دنبال‌کردن مسیری پیچ‌درپیچ از میان جنگل ایده‌ها و مفاهیم است، با این‌همه این مسیرِ گره‌برگره در لحظهٔ معینی به نوعی روشن‌گاه زیبا گشوده می‌شود.

ریاضیات ارتباط دیالکتیکی بسیار تنگاتنگی با فلسفه دارد _

امروز حتی با در نظر گرفتن رواج ریاضیات نمی‌توانید هر وقت که دلتان خواست آن را مطالعه کنید. ریاضیات چیزی نظیر ثروت موروثی نیست: به ارث نمی‌رسد و دانشِ میانگین، وسیع یا حتی بسیار وسیع هم کافی نیست. در نتیجه، ریاضیات بسیار دسترس‌ناپذیر شده است. در مطبوعات نیز فقط ارجاعاتِ به‌شدت بیرونی گزارش می‌شود: کسی که چیزی بسیار مهم را کشف کرده است مدالِ فیلدز خواهد گرفت. این شخص° تأییدیهٔ اجتماع بسیار کوچک خویش را می‌گیرد، اما در میان نافهمی عمومی بسیار وسیع.

در مورد فلسفه، مسئله کاملاً برعکس است زیرا امروز هر کس را می‌توان فیلسوف تلقی کرد. از آن زمان که فیلسوفان° «جدید» شده‌اند، مردم هم تا جایی که به آنها مربوط می‌شود بسیار قانع و کم‌توقع شده‌اند، حتی در سطحی پایه‌ای. باور کنید راست می‌گویم! در روزگار افلاطون، دکارت و هگل، یا حتی در اواخر قرنِ نوزدهم، دانش مقتضی برای اینکه ادعا کنید «فیلسوف» هستید تقریباً تمام انواع متفاوت دانش و اکتشافات سیاسی، علمی و زیبایی‌شناختی را شامل می‌شد، اما امروز کافی است عقایدی داشته باشید و بَعد روابطِ مناسبی در رسانه که مردم را در این فکر بیندازد که آن عقاید° کلی و جهان‌شمولند، درحالی‌که کاملاً مبتذلند. با این‌همه تفاوتِ بینِ کلیت و ابتذال، به هر حال، باید برای فیلسوف تعیین‌کننده باشد.

بنابراین از مدت‌ها پیش، از زمان یونان باستان، ریاضیات° جهانی بود که در آن چیزها فقط به‌شرطی صادق، اثبات‌شده و قابل‌انتشار انگاشته می‌شدند که اجتماعی از انسان‌های «واقعاً آگاه و دانشمند در آن زمینه»، و نه صرفاً کسانی که از اقتدار نام «ریاضی‌دان» برخوردار بودند، آنها را معتبر می‌دانستند و می‌پذیرفتند. برعکس، ریاضی‌دان کسی بود که برای نخستین بار کلیتی عاری از هر گونه حدس و گمانِ اساطیری یا دینی معرفی می‌کرد، کلیتی که دیگر نه به‌شکلِ روایت بلکه به‌شکلِ اثبات بود. حقیقتِ مبتنی بر روایت° حقیقتِ «سنتی» است، حقیقتی از نوعِ اسطوره یا وحی. ریاضیات تمامِ روایت‌های سنتی را به گوشه‌ای افکند:

«فیلسوفان جدید» هیچ علاقه‌ای به ریاضیات ندارند. آنها به عقاید عمومی، دین اسلام، «تمامیت‌خواهی»، انتخابات کانتون و خیلی چیزهای دیگر علاقه نشان می‌دهند، ولی به ریاضیات نه. و این از نظر من بی‌حرمتی است، بی‌حرمتی به عقلانیتی که در تاریخ طولانی فلسفه، صرف‌نظر از نتیجه‌گیری‌ها و ادعاهای متضاد نهایی و تقابل‌های فیلسوفان متفاوت، به دست آمده و مستقر شده است. بین عشق پرشور افلاطون به ریاضیات و انتقاد سخت هگل از مفهوم منحصراً ریاضیاتیِ بی‌نهایت فرسنگ‌ها فاصله هست. اما هگل به ریاضیات روزگار خود، یعنی کار اویلر، احاطه داشت. او در کتاب منطق خویش، یادداشتی هوشمندانه در مورد حساب دیفرانسیل نوشته است.

ریاضیات به‌منزلهٔ علم هستی درست از همان ابتدا، همین‌که آدم وارد فلسفه می‌شود، تعیین‌کننده است. به همین دلیل، من با تمام وجود با قاعدهٔ معروف آکادمی افلاطون موافقت و یکبار دیگر از جانب خودم آن را تکرار می‌کنم: «هرکس که هندسه نمی‌داند، وارد اینجا نشود». منظور از «اینجا» صرفاً آکادمی نیست، بلکه خود فلسفه است.

این دو نمونه نشان می‌دهد که فلسفه، اگر از ریاضیات جدا شود، دچار فاجعه می‌شود، زیرا شمار زیادی از مفاهیم مورد نیازش، در نتیجهٔ جهالت، کهنه و مهجور می‌شود.

به گفتهٔ گالیله، یکی از بنیان‌گذاران فیزیک مدرن، جهان به زبانِ ریاضی نوشته شده است. این جهت‌گیری نخست بر آن است که ریاضیات° رابطه‌ای ذاتی با هر آنچه «هست» دارد.

و اما آخرین مورد که به هیچ وجه کم‌ارزش‌ترین نیست، حقایقِ عشق به توان دیالکتیکی‌ای مربوط می‌شوند که در تجربه‌کردن جهان نه از نظرگاه یک، یعنی تکینگی فردی، بلکه از نظرگاهِ دو نهفته است،

من هنوز هم از این منظرِ زیبایی‌شناختی از ریاضیات دفاع می‌کنم و یادآور می‌شوم که این منظر° قدمتی طولانی دارد زیرا ارسطو در واقع ریاضیات را نه دیسیپلین حقیقت بلکه دیسیپلینِ زیبایی می‌انگاشت. او ادعا می‌کرد که عظمت ریاضیات بیش از آنکه هستی‌شناختی یا متافیزیکی باشد زیبایی‌شناختی است.

من هنوز هم از این منظرِ زیبایی‌شناختی از ریاضیات دفاع می‌کنم و یادآور می‌شوم که این منظر° قدمتی طولانی دارد زیرا ارسطو در واقع ریاضیات را نه دیسیپلین حقیقت بلکه دیسیپلینِ زیبایی می‌انگاشت. او ادعا می‌کرد که عظمت ریاضیات بیش از آنکه هستی‌شناختی یا متافیزیکی باشد زیبایی‌شناختی است.

ریاضیات° شهود و اثبات را به‌شیوه‌ای بی‌همتا ترکیب می‌کند، کاری که متن فلسفی نیز تا جایی که ممکن است باید انجام دهد.

اکثریت ریاضی‌دانان رابطه‌ای شدیداً نخبه‌گرایانه با رشتهٔ خود دارند. آنها فکر می‌کنند یگانه کسانی هستند که آن را می‌فهمند و همین است که هست. به هر حال، آنها افرادی هستند که کم‌وبیش از روی ضرورت فقط با کسانی سخن می‌گویند که قادرند دشوارترین اثبات‌های ریاضیات معاصر را فهم کنند، یعنی عمدتاً همکاران ریاضی‌دان‌شان

ریاضیات را ابداً نباید فقط رشته‌ای دانشگاهی انگاشت که وظیفه‌اش گزینش افرادی است که مهندس یا وزیر کشور خواهند شد بلکه باید چیزی تلقی کرد که در خود و به خودیِ خود عمیقاً جالب است. ریاضیات، به‌سان هنرهای زیبا و سینما، به دلایلی که بعدتر اشاره خواهم کرد، باید جزءِ لاینفک فرهنگ عامهٔ ما باشد. اما معلوم است که این‌طور نیست _ وضع سینما از این هم بدتر است و در نتیجه شاید رسواکننده‌تر باشد. به همین دلیل، افکار عمومی دربارهٔ ریاضیات بینِ دو رویکردِ زیر دوپاره شده است: نوعی احترام مؤدبانه به نخبه‌گراییِ آن __ با حمایت از فایده‌ای که ادعا می‌شود برای فیزیک یا تکنولوژی دارد __ و نوعی جهل و نادانی که در این باور خلاصه شده است: «من ژنِ ریاضی ندارم».

در مورد فلسفه، مسئله کاملاً برعکس است زیرا امروز هر کس را می‌توان فیلسوف تلقی کرد. از آن زمان که فیلسوفان° «جدید» شده‌اند، مردم هم تا جایی که به آنها مربوط می‌شود بسیار قانع و کم‌توقع شده‌اند، حتی در سطحی پایه‌ای. باور کنید راست می‌گویم! در روزگار افلاطون، دکارت و هگل، یا حتی در اواخر قرنِ نوزدهم، دانش مقتضی برای اینکه ادعا کنید «فیلسوف» هستید تقریباً تمام انواع متفاوت دانش و اکتشافات سیاسی، علمی و زیبایی‌شناختی را شامل می‌شد، اما امروز کافی است عقایدی داشته باشید و بَعد روابطِ مناسبی در رسانه که مردم را در این فکر بیندازد که آن عقاید° کلی و جهان‌شمولند، درحالی‌که کاملاً مبتذلند. با این‌همه تفاوتِ بینِ کلیت و ابتذال، به هر حال، باید برای فیلسوف تعیین‌کننده باشد.

ریاضیات مظهر «فرایند دانش» ی است که به قول معروف «روی پای خود می‌ایستد». به بیان دیگر، وقتی به یک اثبات می‌رسید، خُب، به یک اثبات رسیده‌اید و نه چیزی دیگر! این فرایند ابداً چیزی نظیرِ اعلامِ حقیقت از سوی کشیش، پادشاه یا خدا نیست. کشیش، پادشاه یا خدا صرفاً به این دلیل که کشیش، پادشاه یا خداست حقیقت را می‌گوید. بعلاوه، اگر با آنها به مخالفت برخیزید، از جانبِ حق به شما خواهند گفت که اشتباه می‌کنید... درحالی‌که مورد ریاضی‌دان‌ها کاملاً متفاوت است: آنها باید «فرایند دانش» ی بسازند که به همکاران و رقبایشان نشان داده می‌شود. و اگر کسی بر طبق اصول همین «فرایند دانش» به مخالفت با اثباتِ آنها برخیزد و کذب آن را نشان دهد، حق با اوست.