کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای

کتاب از مقادیر ویژه تا چند جمله ای (سفری در دنیای ماتریس های ساختار یافته) نوشته مریم شمس سولاری، پیوند میان الگوهای ماتریسی، محاسبات عددی و چندجمله‌ای‌ها را بررسی می‌کند. موضوع محوری این کتاب، استفاده از ساختار ماتریس برای محاسبه‌ی مقادیر ویژه، دترمینان و معکوس است؛ مسیری که در ریشه‌یابی چندجمله‌ای‌ها نیز کاربرد دارد. نویسنده نشان داده است که شناخت نظم درایه‌ها چگونه بر هزینه‌ی محاسبات و حافظه‌ی موردنیاز اثر می‌گذارد. پرستو ریحانی اردبیلی ویراستار علمی این کتاب است و انتشارات دانشگاه پیام نور این کتاب را منتشر کرده است. نسخه‌ی الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای

کتاب از مقادیر ویژه تا چند جمله ای (سفری در دنیای ماتریس های ساختار یافته) حاصل بررسی مریم شمس سولاری در حوزه‌ی جبرخطی عددی است. نویسنده مسئله‌ی استخراج اطلاعات از ماتریس‌های بزرگ را نقطه‌ی آغاز قرار داده است. ماتریس‌های ساختاریافته در این بحث، آرایه‌هایی هستند که درایه‌هایشان مستقل از یکدیگر نیستند و از الگوهایی مشخص پیروی می‌کنند. این وابستگی امکان نمایش ماتریس با تعداد کمتری پارامتر را فراهم می‌کند. موضوع اصلی، استفاده از همین ویژگی برای طراحی و تحلیل الگوریتم‌هاست. مباحث فقط به تعریف انواع ماتریس محدود نمی‌شوند؛ کارایی، پایداری عددی و امکان پیاده‌سازی روش‌ها نیز جایگاه مشخصی دارند. مثال‌های مربوط به پردازش سیگنال، بازسازی اطلاعات در کانال‌های مخابراتی، تحلیل سیستم‌های کنترلی و حل عددی معادلات دیفرانسیل، زمینه‌ی کاربرد این مفاهیم را نشان می‌دهند. متن ماهیتی تخصصی دارد و مفاهیمی مانند قطری‌سازی، فرم جردن، مقادیر تکین و اینرسی را در کنار مسئله‌ی مقادیر ویژه مطرح کرده است. آشنایی قبلی با جبرخطی و محاسبات عددی، زمینه‌ی دنبال‌کردن بحث‌های پیشرفته‌تر را فراهم می‌کند.
کتاب از مقادیر ویژه تا چند جمله ای (سفری در دنیای ماتریس های ساختار یافته) در نه فصل تنظیم شده است. فصل نخست، تعاریف و مفاهیم اولیه را مرور می‌کند؛ نرم‌های ماتریسی، چندجمله‌ای‌های متعامد، آنالیز فوریه، سری لوران و ابزارهای نرم‌افزاری متلب و جولیا از مباحث این فصل‌اند. فصل‌های دوم و سوم به ماتریس‌های توپلیتز، محاسبه‌ی دترمینان، مقادیر ویژه، مقادیر تکین و اینرسی اختصاص دارند. بررسی حالت‌های نواری، دوری و ماتریس‌هایی با گوشه‌های آشفته، دامنه‌ی این بحث را گسترش می‌دهد. فصل چهارم، ماتریس‌های سه‌قطری ۲-توپلیتز و ۳-توپلیتز را بررسی کرده است. فصل پنجم، محاسبه‌ی معکوس ماتریس‌های چندقطری را باتکیه‌بر تجزیه‌ی دولیتل دنبال می‌کند. فصل ششم به ماتریس‌های هنکل مثلثی مایل و توزیع مقادیر ویژه اختصاص دارد. فصل‌های هفتم و هشتم، خواص طیفی و تجزیه‌های بلوکی را پیش می‌برند. فصل نهم، ارتباط چندجمله‌ای‌ها با ماتریس‌های ساختاریافته و ماتریس‌های همراه فیدلر بلوکی را مطرح می‌کند. مثال‌های عددی، خلاصه‌ها و پیشنهادهای ادامه‌ی کار، بحث‌های نظری را به مسئله‌های محاسباتی و زمینه‌های پژوهش مرتبط می‌کنند. نویسنده این مجموعه را برای یک درس یک‌نیمسالی در تحصیلات تکمیلی ریاضی کاربردی نیز در نظر گرفته است.

خلاصه کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای

ایده‌ی مرکزی کتاب از مقادیر ویژه تا چند جمله ای (سفری در دنیای ماتریس های ساختار یافته)، تبدیل شناخت ساختار به ابزاری برای محاسبه است. ماتریس‌های توپلیتز، هنکل، دوری و بلوکی هریک نظم خاصی دارند که می‌توان از آن در حل مسئله استفاده کرد. نویسنده نشان می‌دهد که محاسبه‌ی دترمینان، معکوس و اطلاعات طیفی این ماتریس‌ها به انتخاب تجزیه‌ها و روش‌های متناسب با ساختار وابسته است. چندجمله‌ای‌ها نیز در همین چارچوب حضور دارند: ریشه‌های یک چندجمله‌ای را می‌توان از مقادیر ویژه‌ی ماتریس همراه متناظر به دست آورد. چندجمله‌ای‌های چبیشف و ماتریس‌های همیار و همکار، شکل‌های دیگری از این پیوند را آشکار می‌کنند. دغدغه‌ی محاسباتی متن، کاهش هزینه‌ی عملیات بدون نادیده‌گرفتن حساسیت عددی مسئله است. بحث توزیع مقادیر ویژه‌ی ماتریس‌های هنکل نیز ارتباط جبرخطی با مفاهیم احتمال را نشان می‌دهد.

چرا باید کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای را بخوانیم؟

دلایل خواندن این کتاب را می‌توان در سه محور خلاصه کرد:

• بررسی خانواده‌های مشخص ماتریسی، امکان شناخت رابطه‌ی الگوی درایه‌ها با روش محاسبه‌ی دترمینان و معکوس را فراهم می‌کند.
• توضیح ماتریس‌های همراه و همیار، ارتباط ریشه‌یابی چندجمله‌ای‌ها با مسئله‌ی مقادیر ویژه را روشن می‌سازد.
• مثال‌های عددی و پیشنهادهای پایان فصل‌ها، زمینه‌ی پیگیری مسئله‌های پژوهشی در جبرخطی عددی را معرفی می‌کنند.

خواندن این کتاب را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

• دانشجویان تحصیلات تکمیلی ریاضی کاربردی که جبرخطی عددی و آنالیز عددی را دنبال می‌کنند.
• پژوهشگرانی که به خواص طیفی ماتریس‌های ساختاریافته و ارتباطشان با چندجمله‌ای‌ها علاقه دارند.
• مهندسان آشنا با مبانی جبرخطی که در محاسبات علمی با ماتریس‌های نواری، توپلیتز یا بلوکی سروکار دارند.