کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای

کتاب از مقادیر ویژه تا چند جمله ای، نوشته مریم شمس سولاری، پیوند میان الگوهای ماتریسی و محاسبات عددی و چندجمله‌ای‌ها را بررسی کرده است. موضوع محوری این کتاب استفاده از ساختار ماتریس برای محاسبه‌ی مقادیر ویژه، دترمینان و معکوس است؛ مسیری که در ریشه‌یابی چندجمله‌ای‌ها نیز کاربرد دارد. نویسنده نشان می‌دهد که شناخت نظم درایه‌ها چگونه بر هزینه‌ی محاسبات و حافظه‌ی موردنیاز اثر می‌گذارد. پرستو ریحانی اردبیلی ویراستار علمی این کتاب است و انتشارات دانشگاه پیام نور آن را منتشر کرده است. نسخه‌ی الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای

کتاب از مقادیر ویژه تا چند جمله ای (سفری در دنیای ماتریس‌های ساختاریافته) حاصل بررسی مریم شمس سولاری در حوزه‌ی جبرخطی عددی است. نویسنده مسئله‌ی استخراج اطلاعات از ماتریس‌های بزرگ را نقطه‌ی آغاز قرار داده است. ماتریس‌های ساختاریافته در این بحث، آرایه‌هایی هستند که درایه‌هایشان مستقل از یکدیگر نیستند و از الگوهایی مشخص پیروی می‌کنند. این وابستگی امکان نمایش ماتریس با تعداد کمتری پارامتر را فراهم می‌کند. موضوع اصلی این اثر، استفاده از همین ویژگی برای طراحی و تحلیل الگوریتم‌هاست.

مطالب کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای به تعریف انواع ماتریس محدود نمی‌شود؛ کارایی، پایداری عددی و امکان پیاده‌سازی روش‌ها نیز معرفی شده‌اند. مثال‌های مربوط به پردازش سیگنال، بازسازی اطلاعات در کانال‌های مخابراتی، تحلیل سیستم‌های کنترلی و حل عددی معادلات دیفرانسیل، زمینه‌ی کاربرد این مفاهیم را نشان می‌دهد. اثر حاضر ماهیتی تخصصی دارد و مفاهیمی مانند قطری‌سازی، فرم جردن، مقادیر تکین و اینرسی را در کنار مسئله‌ی مقادیر ویژه مطرح می‌کند. آشنایی قبلی با جبر خطی و محاسبات عددیْ زمینه‌ی دنبال‌کردن بحث‌های پیشرفته‌تر را فراهم می‌کند.

کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای ۹ فصل دارد. فصل نخست، تعاریف و مفاهیم اولیه را مرور می‌کند؛ نرم‌های ماتریسی، چندجمله‌ای‌های متعامد، آنالیز فوریه، سری لوران و ابزارهای نرم‌افزاری متلب و جولیا از مباحث این فصلند. فصل‌های دوم و سوم به ماتریس‌های توپلیتز، محاسبه‌ی دترمینان، مقادیر ویژه، مقادیر تکین و اینرسی اختصاص دارند. فصل چهارم ماتریس‌های سه‌قطری ۲-توپلیتز و ۳-توپلیتز را بررسی کرده است. فصل پنجم محاسبه‌ی معکوس ماتریس‌های چندقطری را با تکیه‌ بر تجزیه‌ی دولیتل دنبال می‌کند.

فصل ششمِ کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای به ماتریس‌های هنکل مثلثی مایل و توزیع مقادیر ویژه اختصاص دارد. فصل‌های هفتم و هشتم خواص طیفی و تجزیه‌های بلوکی را مطرح کرده است. فصل نهم ارتباط چندجمله‌ای‌ها با ماتریس‌های ساختاریافته و ماتریس‌های همراه فیدلر بلوکی را بررسی می‌کند. مثال‌های عددی، خلاصه‌ها و پیشنهادهای ادامه‌ی کار، بحث‌های نظری را به مسئله‌های محاسباتی و زمینه‌های پژوهش مرتبط می‌کند. نویسنده این مجموعه را برای یک درس یک‌نیمسالی در تحصیلات تکمیلی ریاضی کاربردی نیز در نظر گرفته است.

خلاصه کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای

ایده‌ی مرکزی کتاب حاضر تبدیل شناخت ساختار به ابزاری برای محاسبه است. ماتریس‌های توپلیتز، هنکل، دوری و بلوکی هریک نظم خاصی دارند که می‌توان از آن در حل مسئله استفاده کرد. محاسبه‌ی دترمینان، معکوس و اطلاعات طیفی این ماتریس‌ها به انتخاب تجزیه‌ها و روش‌های متناسب با ساختار وابسته است. چندجمله‌ای‌ها نیز در همین چارچوب قرار دارند: ریشه‌های یک چندجمله‌ای را می‌توان از مقادیر ویژه‌ی ماتریس همراه متناظر به دست آورد. چندجمله‌ای‌های چبیشف و ماتریس‌های همیار و همکار شکل‌های دیگری از این پیوند را آشکار می‌کنند. دغدغه‌ی محاسباتی متن، کاهش هزینه‌ی عملیات بدون نادیده‌گرفتن حساسیت عددی مسئله است. توزیع مقادیر ویژه‌ی ماتریس‌های هنکل نیز ارتباط جبر خطی با مفاهیم احتمال را نشان می‌دهد.

چرا باید کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای را بخوانیم؟

دلایل خواندن این کتاب را می‌توان در سه محور خلاصه کرد:

• بررسی خانواده‌های مشخص ماتریسی امکان شناخت رابطه‌ی الگوی درایه‌ها با روش محاسبه‌ی دترمینان و معکوس را فراهم می‌کند.
• توضیح ماتریس‌های همراه و همیار، ارتباط ریشه‌یابی چندجمله‌ای‌ها با مسئله‌ی مقادیر ویژه را تبیین می‌سازد.
• مثال‌های عددی و پیشنهادهای پایان فصل‌ها زمینه‌ی پیگیری مسئله‌های پژوهشی در جبر خطی عددی را بررسی می‌کند.

خواندن کتاب از مقادیر ویژه تا چندجمله ای را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

خواندن کتاب حاضر به این گروه‌ها پیشنهاد می‌شود:

• دانشجویان تحصیلات تکمیلی ریاضی کاربردی که جبرخطی عددی و آنالیز عددی را دنبال می‌کنند.
• پژوهشگرانی که به خواص طیفی ماتریس‌های ساختاریافته و ارتباطشان با چندجمله‌ای‌ها علاقه دارند.
• مهندسان آشنا با مبانی جبر خطی که در محاسبات علمی با ماتریس‌های نواری، توپلیتز یا بلوکی سروکار دارند.