کتاب مقدمه ای بر هندسه فرکتالی

کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی نوشته‌ی احمد روزی‌طلب اثری آموزشی درباره‌ی مفاهیم پایه و کاربردهای هندسه‌ی فرکتالی است که نشر تخت‌جمشید آن را منتشر کرده است. نویسنده در آن کتاب از مثال‌های ساده‌ی تصویری شروع کرده و به‌تدریج به مباحثی مانند بعد فرکتالی، سیستم‌های دینامیکی و آشوب و معرفی انواع فرکتال‌ها می‌رسد. ساختار اثر فصل‌بندی روشن دارد و از نمودارها، شکل‌ها و نمونه‌کدهای کامپیوتری برای توضیح مفاهیم استفاده شده است. تمرکز اصلی بر معرفی شهودی ایده‌ها و سپس ارائه‌ی صورت‌بندی دقیق‌تر ریاضی است. نسخه‌ی الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب مقدمه ای بر هندسه فرکتالی

کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی با تکیه‌بر تجربه‌ی پژوهشی احمد روزی‌طلب در حوزه‌ی فرکتال‌ها نوشته شده و تلاش کرده است پلی میان شهود تصویری و بیان دقیق ریاضی ایجاد کند. نویسنده در مقدمه توضیح داده است که کمبود منبع راهنما برای علاقه‌مندان هندسه‌ی فرکتالی او را به نگارش این اثر ترغیب کرده و کوشیده است طیف نسبتاً گسترده‌ای از دانشجویان و علاقه‌مندان رشته‌های مختلف را مخاطب قرار دهد. کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی در هفت فصل تنظیم شده است. فصل اول با عنوان مثال‌ها و تعاریف ابتدایی به‌جای شروع با تعریف رسمی، چند ساختار مشهور مانند مجموعه‌ی سه‌تایی غبار کانتور، بادبان‌بند و فرش سیرپینسکی، منحنی و دانه‌برف کخ، اژدهای هی‌وی و نمونه‌های خودتشابه در طبیعت و هنر را قدم‌به‌قدم می‌سازد و از دل این مثال‌ها ویژگی‌های مشترک فرکتال‌ها را بیرون می‌کشد. در فصل دوم با عنوان بعد فرکتال‌ها، مفاهیم اندازه و بعد هاوسدورف، بعد توپولوژیک و بعد جعبه‌شمار معرفی شده و روی نمونه‌های فصل اول محاسبه می‌شود تا تفاوت بین بعد اقلیدسی و بعد فرکتالی روشن شود. در ادامه‌ی کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی فصل سوم به آشنایی با سیستم‌های دینامیکی و آشوب اختصاص یافته و با مثال‌های ساده‌ای مانند رشد قد، رشد جمعیت و معادله‌ی لوجستیک، ایده‌ی تکرار، مدار، جاذب و حساسیت به شرایط اولیه را توضیح می‌دهد و سپس به جاذب‌های عجیب و پیوند آن‌ها با فرکتال‌ها می‌رسد. فصل چهارم به آموزش و به‌کارگیری نرم‌افزارهای ویژه‌ی رسم فرکتال‌ها می‌پردازد و چند برنامه‌ی متداول مانند ۳۳۵۲۲۱ و نرم‌افزارهای تولید مجموعه‌های مندلبروت و ژولیا را معرفی کرده است. در فصل پنجم کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی خلاصه‌ای نسبتاً مفصل از انواع فرکتال‌ها آورده شده است؛ از مجموعه‌های مندلبروت و ژولیا و گونه‌های مختلف آن‌ها تا حوزه‌های نیوتن، ماشین‌های خودکار مانند مورچه‌ی لانگتون، سیستم توابع تکرارشونده، فرکتال‌های انشعابی و سلولی، فرکتال‌های دینامیکی مانند لورنز، مارتین، روسلر، ولترا–لوتکا و نمونه‌های دیگری چون ققنوس، ابرهای پلاسمایی و فرکتال‌های مغناطیسی. فصل ششم به کاربردها می‌پردازد؛ از درونیابی فرکتالی و مدل‌های فرکتالی در تحقیق در عملیات تا فشرده‌سازی فرکتالی تصاویر و بحث‌هایی درباره‌ی کدگذاری، بازفشرده‌سازی و کیفیت تصویر. در فصل هفتم نیز برخی از چهره‌های مهم تاریخ فرکتال و نظریه‌ی مجموعه‌ها مانند کانتور، پوانکاره، کخ، هیلبرت، پئانو، سزارو، سیرپینسکی، ژولیا، فاتو و مندلبروت معرفی شده‌اند و در پایان، منابع و واژه‌نامه‌ی فارسی–انگلیسی آمده است.

خلاصه کتاب مقدمه ای بر هندسه فرکتالی

کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی از مشاهده‌ی بی‌نظمی‌های ظاهری در طبیعت و علوم مختلف آغاز می‌کند و نشان می‌دهد بسیاری از این ساختارها درواقع از نظمی پنهان و خودتشابهی تبعیت می‌کنند. نویسنده ابتدا با ساختن فرکتال‌های کلاسیک روی خط، صفحه و فضا، ویژگی‌هایی مانند خودتشابهی، پیروی از قانون توانی و بعد غیرصحیح را برجسته می‌کند و سپس با معرفی اندازه و بعد هاوسدورف و بعد جعبه‌شمار، ابزار ریاضی لازم برای سنجش «اندازه»‌ی این اشکال را فراهم می‌سازد. در ادامه‌ی کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی سیستم‌های دینامیکی گسسته و پیوند آن‌ها با آشوب بررسی می‌شود؛ مفاهیمی مانند مدار، نقطه‌ی ثابت، چرخه‌ی حدی، جاذب و جاذب عجیب تعریف شده و حساسیت شدید به شرایط اولیه با مثال‌هایی مانند معادله‌ی لوجستیک و مدل‌های ساده‌ی اقتصادی و هواشناسی نشان داده می‌شود. سپس طیفی از فرکتال‌های کلاسیک و دینامیکی معرفی شده و در پایان، کاربردهایی مانند مدل‌سازی پدیده‌های طبیعی، تحلیل سری‌های زمانی و فشرده‌سازی تصاویر مرور می‌شود تا تصویر نسبتاً یکپارچه‌ای از جایگاه هندسه‌ی فرکتالی در ریاضیات و علوم شکل بگیرد.

چرا باید کتاب مقدمه ای بر هندسه فرکتالی را بخوانیم؟

کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی تصویری منظم از مفاهیم اصلی فرکتال‌ها، بعد و آشوب ارائه کرده و آن‌ها را از سطح مثال‌های شهودی تا سطح تعریف‌های دقیق ریاضی دنبال کرده است. ترکیب مثال‌های تصویری، محاسبات گام‌به‌گام و اشاره به نرم‌افزارها و کاربردها، آن کتاب را به متنی مناسب برای آشنایی اولیه و مرور ساختارمند این حوزه تبدیل کرده است.

خواندن این کتاب را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

مطالعه‌ی کتاب مقدمه‌ای بر هندسه‌ی فرکتالی به دانشجویان و علاقه‌مندان ریاضی، فیزیک، علوم کامپیوتر و مهندسی توصیه می‌شود که به مفاهیمی مانند فرکتال‌ها، سیستم‌های دینامیکی، آشوب و کاربردهای آن‌ها در مدل‌سازی و پردازش تصویر علاقه دارند و به‌دنبال یک متن آموزشی فارسی در این زمینه هستند.‎ «می‌دانید که ادعای ما (ریاضیدانان!) پیشبرد علوم دیگر است. به عبارت دیگر علمای هر علم دیگر جهت پیشرفت آخر عاقبت سر و کارشان به ریاضی می‌افتد و دست نیاز به سوی ما (علمای ریاضی!) دراز می‌کنند. اما اگر نگاهی به اطراف خود انداخته و مسائلی را که علوم دیگر با آنها سر و کار دارند با دقت بررسی کنیم می‌بینیم که به عنوان مثال در زمینه هواشناسی پدیده‌های موجود مانند حرکت توده‌های هوا و ابرها اغلب خواص آشوبی و درهم دارند و رویدادهای ممکن روزهای آینده مانند بارش و غیره را نهایتاً می‌توان برای یک هفته آینده پیش‌بینی کرد. پس یکی از مشکلات علوم دیگر این است که در بسیاری از موارد با حالاتی مواجه می‌شوند که از نظم خاصی برخوردار نبوده و قانون خاصی بر آنها حاکم نمی‌باشد و نمی‌توان از روابط و معادلات ریاضی در آنها استفاده کرد. اگر دقت کنید در اینجا واژه نداشتن نظم به کار برده شد. خدا من را ببخشد! مگر در این عالم هستی بی‌نظمی هم وجود دارد؟ مگر نه این است که خداوند همه چیز را از روی نظم آفریده؟ … یکی از ویژگی‌هایی که در بسیاری از پدیده‌های به ظاهر نامنظم دیده شده است خاصیت خودتشابهی می‌باشد بدین معنی که جزئیات بسیاری از مخلوقات طبیعی کاملاً مشابه کل پدیده اما در مقیاس کوچک‌تر می‌باشند. یک نمونه از این موارد گل‌کلم بوده که وجود خاصیت خودتشابهی در درخت یا برای یک رشته کوه هم به طور تجربی اثبات شده است. در هر حال مثال‌ها محدود نیستند و فصل اول را به مثال‌هایی ابتدایی اختصاص داده و در فصل پنجم به طور گسترده‌تری در این مورد بحث خواهیم کرد.»