کتاب آنالیز برداری

کتاب الکترونیکی «آنالیز برداری: به همراه مقدمه‌ای بر آنالیز تانسوری» (ترجمه از ویرایش دوم ۲۰۰۹) اثری از سیمور لیپشوتز، دنیس اسپیلمن و ماری آر اشپیگل است که با ترجمهٔ محمد غلامیان، پروین جعفری، امیر هوشنگ رمضانی و امیر حسین ساری توسط انتشارات تایماز منتشر شده است. این کتاب به مباحث پایه و پیشرفتهٔ آنالیز برداری و تانسوری می‌پردازد و برای دانشجویان و علاقه‌مندان به ریاضیات و فیزیک تدوین شده است. نسخه الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب آنالیز برداری

این کتاب به عنوان یکی از منابع آموزشی در حوزهٔ آنالیز برداری و تانسوری شناخته می‌شود و ساختار آن به گونه‌ای طراحی شده که مفاهیم پایه‌ای و پیشرفته را به صورت گام‌به‌گام ارائه می‌دهد. محتوای کتاب از معرفی کمیت‌های عددی و برداری آغاز می‌شود و سپس به مباحثی مانند جمع و تفریق بردارها، ضرب داخلی و خارجی، مشتق‌گیری برداری، گرادیان، دیورژانس، کرل و انتگرال‌گیری برداری می‌پردازد. در ادامه، دستگاه‌های مختصات منحنی‌الخط و مفاهیم آنالیز تانسوری نیز مطرح می‌شوند. این اثر با مثال‌ها و تمرین‌های متعدد، به دانشجویان کمک می‌کند تا مفاهیم را به صورت عملی درک کنند. کتاب در دوره‌ای منتشر شده که نیاز به منابع جامع و آموزشی در زمینهٔ ریاضیات کاربردی و فیزیک احساس می‌شد و به همین دلیل، علاوه بر دانشجویان ریاضی، برای دانشجویان فیزیک و مهندسی نیز قابل استفاده است.

خلاصه کتاب آنالیز برداری

این کتاب با تعریف کمیت‌های عددی و برداری آغاز می‌شود و تفاوت‌های اساسی میان این دو را توضیح می‌دهد. سپس به معرفی عملیات‌های پایه‌ای روی بردارها مانند جمع، تفریق و ضرب یک عدد در بردار می‌پردازد و قوانین جبر برداری را به تفصیل شرح می‌دهد. در ادامه، مفاهیم وابستگی و استقلال خطی بردارها، میدان‌های اسکالر و برداری و فضای برداری مطرح می‌شوند. بخش بعدی کتاب به ضرب داخلی (اسکالر) و ضرب خارجی (برداری) دو بردار اختصاص دارد و ویژگی‌ها و قوانین مربوط به هر یک را با مثال‌های متعدد بررسی می‌کند. مشتق‌گیری از توابع برداری، پیوستگی و دیفرانسیل‌پذیری، مشتق جزئی و دیفرانسیل هندسی از دیگر مباحث مهم کتاب هستند. همچنین، گرادیان، دیورژانس و کرل به عنوان ابزارهای کلیدی در آنالیز برداری معرفی می‌شوند و کاربرد آن‌ها در حل مسائل فیزیکی و مهندسی مورد بحث قرار می‌گیرد. انتگرال‌گیری برداری، قضایای اصلی مرتبط با انتگرال‌ها و دستگاه‌های مختصات منحنی‌الخط نیز در فصل‌های بعدی بررسی می‌شوند. در بخش پایانی، مقدمه‌ای بر آنالیز تانسوری ارائه شده که شامل تعریف تانسورها، تبدیلات مختصاتی، بردارهای هم‌وردا و ناهم‌وردا و عملیات پایه‌ای در تانسورها است. کتاب با تمرین‌ها و مثال‌های حل‌شده، امکان تمرین و تسلط بیشتر بر مفاهیم را فراهم می‌کند.

چرا باید کتاب آنالیز برداری را خواند؟

این کتاب با پوشش جامع مباحث آنالیز برداری و تانسوری، به عنوان منبعی مناسب برای یادگیری مفاهیم پایه و پیشرفته در این حوزه شناخته می‌شود. ساختار مرحله‌به‌مرحله و وجود مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، یادگیری را برای دانشجویان ساده‌تر می‌کند. همچنین، پرداختن به کاربردهای عملی در فیزیک و مهندسی، این اثر را برای کسانی که به دنبال درک عمیق‌تر مفاهیم ریاضی در علوم پایه و فنی هستند، ارزشمند می‌سازد.

خواندن کتاب آنالیز برداری را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

این کتاب برای دانشجویان رشته‌های ریاضی، فیزیک و مهندسی که نیاز به درک مفاهیم آنالیز برداری و تانسوری دارند، مناسب است. همچنین برای کسانی که در زمینه‌های علوم پایه یا فنی با مسائل برداری و تانسوری مواجه هستند و به دنبال منبعی برای تمرین و یادگیری عمیق‌تر می‌گردند، مفید خواهد بود.

فهرست کتاب آنالیز برداری

- فصل ۱: کمیت‌های برداری و عددی به معرفی کمیت‌های عددی و برداری، قوانین جبر برداری، وابستگی و استقلال خطی، میدان‌های اسکالر و برداری و فضای برداری می‌پردازد. - فصل ۲: ضرب داخلی و ضرب خارجی دو بردار مفاهیم ضرب داخلی (اسکالر) و ضرب خارجی (برداری)، قوانین و ویژگی‌های آن‌ها و ضرب سه‌تایی را بررسی می‌کند. - فصل ۳: دیفرانسیل‌گیری از توابع برداری مشتق‌گیری از توابع برداری، پیوستگی و دیفرانسیل‌پذیری، مشتق جزئی و دیفرانسیل هندسی را توضیح می‌دهد. - فصل ۴: گرادیان، دیورژانس و کرل به معرفی و کاربردهای گرادیان، دیورژانس و کرل و فرمول‌های مرتبط می‌پردازد. - فصل ۵: انتگرال‌گیری برداری انتگرال‌های معمولی، انتگرال‌های خطی، انتگرال رویه‌ای و انتگرال‌های حجمی را شرح می‌دهد. - فصل ۶: قضیه‌های اصلی و قضایای وابسته به انتگرال قضایای مهم مرتبط با انتگرال‌های برداری و کاربردهای آن‌ها را مطرح می‌کند. - فصل ۷: مختصات منحنی‌الخط دستگاه‌های مختصات منحنی‌الخط، تبدیلات مختصات و بردارهای واحد در این دستگاه‌ها را بررسی می‌کند. - فصل ۸: آنالیز تانسوری مقدمه‌ای بر آنالیز تانسوری، تعریف تانسورها، تبدیلات مختصاتی، بردارهای هم‌وردا و ناهم‌وردا و عملیات پایه‌ای در تانسورها را ارائه می‌دهد.

بخشی از کتاب آنالیز برداری

«کمیت‌هایی در علوم مختلف، همچون فیزیک وجود دارند که هم دارای اندازه و هم دارای جهت می‌باشند. مانند جابه‌جایی، سرعت، نیرو و شتاب. بنابراین ابتدا مفهوم بردار را توضیح می‌دهیم. برداری مانند بردار ۰ را در نظر بگیرید که نقطه‌ی ۷ را به نقطه‌ی (۰) متصل می‌کند. در این‌جا، نقطه‌ی آغازین بردار (۳۶) و نقطه‌ی ۰ نقطه‌ی انتهایی این بردار می‌باشد. برای نمایش بردارها یا از حروف بزرگ استفاده کرده و یا در بالای حرف از نماد بردار استفاده می‌کنیم. مانند بردار ۲۰ که می‌توان آن را به صورت بردار ۸ و یا ۱ در شکل (۱.۱ الف) نشان داد. بزرگی و اندازه‌ی بردار را به صورت [۱۸۱ ۸ یا ۴ نمایش می‌دهیم. قوانین زیر در بردارها کاربرد دارد: الف) دو بردار ۸ و ۳ را در صورتی مساوی می‌گویند که بزرگی و جهت آن‌ها نسبت به نقطه‌ی اولیه، یکسان باشد. مانند ظ < ۸ در شکل (۱.۱ الف) ب) برداری که هم‌اندازه‌ی بردار ۸ بوده و در خلاف جهت ین قرار گرفته باشد، بردار - می‌باشد. (شکل (۱.۱ ب)) و آن را بردار منفی ۸ می‌خوانیم.»