کتاب آنالیز برداری

کتاب آنالیز برداری نوشته‌ی حسن ربانی توسط مرکز نشر دانشگاه امیرکبیر منتشر شده است. این کتاب به مباحث اصلی آنالیز برداری و کاربردهای آن در ریاضیات و علوم فنی می‌پردازد و از همان فصل اول با تعریف بردار، جمع و تفریق، ضرب عددی و ضرب برداری شروع می‌شود. سپس به‌تدریج وارد مباحث پیشرفته‌تری مثل توابع برداری، گرادیان، دیورژانس، لاپلاسین، انتگرال‌های چندگانه و قضایای مهمی مانند استوکس و دیورژانس می‌شود. ساختار کتاب بر پایه‌ی درس‌گفتارهای دانشگاهی شکل گرفته و در پایان هر فصل تمرین‌های متعددی برای سنجش فهم مطالب آمده است. نسخه‌ی الکترونیکی این اثر را می‌توانید از طاقچه خرید و دانلود کنید.

درباره کتاب آنالیز برداری

کتاب آنالیز برداری اثری آموزشی در حوزه‌ی ریاضیات است که حسن ربانی آن را بر اساس سال‌ها تجربه‌ی تدریس خود در کلاس‌های دانشگاهی نوشته است. نویسنده در مقدمه توضیح داده است که هدفش فراهم‌آوردن متنی منظم و پرمثال برای دانشجویان علوم پایه و فنی بوده تا بتوانند مفاهیم بردار و آنالیز برداری را عمیق‌تر درک کنند. در همین مقدمه بر نقش مثال‌ها و تمرین‌های متنوع در تقویت قدرت استدلال و حل مسئله تأکید شده است. کتاب آنالیز برداری در چند فصل پیوسته تنظیم شده است. فصل اول با «عملیات مقدماتی روی بردارها» شروع می‌شود: تعریف اسکالر و بردار، نمایش هندسی، جمع و تفریق، ضرب عددی، ضرب برداری، ضرب مختلط سه بردار، تریپل‌برداری، و سپس مباحث هندسی‌تر مثل خط و صفحه در فضا، کسینوس‌های هادی، معادلات پارامتری خط، معادله‌ی صفحه، فاصله‌ی نقطه از خط و صفحه و معادله‌ی عمود مشترک دو خط متنافر. در ادامه‌ی کتاب آنالیز برداری فصل‌های بعدی به توابع برداری، حد و پیوستگی، مشتق و تعبیر هندسی آن، خم‌ها، طول قوس، انحنا، دیفرانسیل‌پذیری، گرادیان، روتاسیونل، دیورژانس، فرم‌های دیفرانسیل، مختصات استوانه‌ای و کروی، انتگرال‌های دوبل و سه‌گانه، انتگرال روی خم و سطح و در نهایت گسترش‌های دیفرانسیل‌پذیر اختصاص یافته است. در پایان هر فصل تمرین‌هایی با سطح دشواری مختلف آمده که بسیاری از آن‌ها مستقیماً بر پایه‌ی مثال‌های متن طراحی شده‌اند. کتاب آنالیز برداری علاوه‌بر ارائه‌ی فرمول‌ها و تعاریف، روی تعبیر هندسی مفاهیم نیز مکث کرده است؛ برای نمونه در بحث ضرب عددی و ضرب برداری، ارتباط آن‌ها با مساحت متوازی‌الاضلاع و حجم متوازی‌السطوح توضیح داده شده و در فصل سطوح و منحنی‌های فضایی، شکل‌های هندسی مانند استوانه، مخروط، سطوح دوار، کره، بیضوی و پارابولوئید با معادلاتشان معرفی شده‌اند.

خلاصه کتاب آنالیز برداری

کتاب آنالیز برداری از تعریف کمیت‌های اسکالر و برداری آغاز می‌کند و به‌تدریج دستگاهی کامل برای کار با بردارها در فضا می‌سازد. ابتدا عملیات جبری روی بردارها، ضرب عددی، ضرب برداری، ضرب مختلط و تریپل‌برداری معرفی شده و سپس این ابزارها برای توصیف خط و صفحه، فاصله‌ها، زوایا و سطوح فضایی به‌کار رفته است. در فصل‌های بعدی کتاب آنالیز برداری مفهوم تابع برداری، حد، پیوستگی و مشتق بررسی شده و خم‌ها، طول قوس و انحنا با تعبیر هندسی توضیح داده شده‌اند. سپس دیفرانسیل‌پذیری توابع چندمتغیره، گرادیان، خطوط میدان، سطوح تراز، روتاسیونل و دیورژانس مطرح شده و ارتباط آن‌ها با فرم‌های دیفرانسیل و تغییر متغیر نشان داده می‌شود. بخش پایانی به مختصات استوانه‌ای و کروی، انتگرال‌های چندگانه، انتگرال روی خم و سطح و قضایای اساسی مانند استوکس و دیورژانس اختصاص دارد.

چرا باید کتاب آنالیز برداری را بخوانیم؟

کتاب آنالیز برداری تصویری نسبتاً کامل از مباحث اصلی آنالیز برداری ارائه کرده است؛ از مفاهیم پایه تا قضایای پیشرفته‌ای که در فیزیک و مهندسی کاربرد دارند. خواننده با دنبال‌کردن فصل‌ها می‌تواند هم محاسبات برداری را تمرین کند و هم درک هندسی خود از فضا، خم‌ها، سطوح و میدان‌های برداری را گسترش دهد.

خواندن این کتاب را به چه کسانی پیشنهاد می‌کنیم؟

مطالعه‌ی کتاب آنالیز برداری به دانشجویان ریاضی، فیزیک و رشته‌های فنی که درگیر دروس ریاضی عمومی پیشرفته، مکانیک، الکترومغناطیس یا تحلیل عددی هستند پیشنهاد می‌شود. همچنین برای کسانی مناسب است که می‌خواهند محاسبات برداری و انتگرال‌های چندگانه را به‌صورت منظم مرور کنند. «کمیت‌های فیزیکی را می‌توان بدو دسته تقسیم کرد. دسته‌ی اول کمیت‌هایی هستند که تنها دارای بزرگی‌اند و دسته‌ی دوم کمیت‌هایی هستند که دارای بزرگی و جهت هستند. کمیت‌هایی که تنها بوسیله‌ی عدد یا بوسیله‌ی بزرگی و علامت جبری مشخص می‌شوند بنام اسکالر نامیده می‌شوند. هنگامی‌که یک دستگاه اندازه‌گیری را انتخاب کرده باشیم یک اسکالر بوسیله‌ی یک عدد حقیقی نشان داده می‌شود و بنابراین دارای همه‌ی ویژگی‌های اعداد حقیقی است و می‌توان همه‌ی عملیات جبری را درباره‌ی آن‌ها بکار برد. کمیت‌هایی که دارای بزرگی و جهت است بردار نامیده می‌شوند؛ نیرو و شتاب هریک مثالی برای بردارها می‌باشد. این کمیت‌ها بوسیله‌ی یک پیکان که اندازه‌ی آن برابر بزرگی بردار و جهت آن همان جهت بردار است نشان داده می‌شود. برای نمایش یک بردار عموماً یک حرف لاتین را که یک پیکان کوچک روی آن قرار می‌دهیم بکار می‌بریم مانند بردار a. گاهی نیز یک بردار را بوسیله‌ی دو حرف و یک پیکان مانند AB نشان می‌دهیم و منظور برداری است از نقطه‌ی A تا نقطه‌ی B. در این صورت A را آغاز و B را انجام AB می‌نامیم. به هر بردار یک اسکالر مثبت نظیر می‌شود که برابر بزرگی آن است و با |a| نشان داده می‌شود و چنانچه بزرگی بردار a برابر a باشد می‌نویسیم |a| = a. برای نمایش برداری که بزرگی آن برابر بزرگی بردار a و جهت آن مقابل بردار a است از −a استفاده می‌شود.»